Интегрирование многочленов

Интегрирование многочленов

Теперь уже нетрудно научиться вычислять интеграл от любого многочлена. Сделаем пред­варительно два простых, но очень важных за­мечания.

Первое замечание. Пусть два тела М1 и М2 движутся в одном и том же на­правлении, причем так, что скорость те­ла М2 в каждый момент времени в раз больше скорости тела М1. Тогда ясно, что и путь, пройденный телом M2будет в раз больше пути, пройденного за то же время телом M1Запишем этот очевидный факт формулой. Обозначим скорость тела M1 в момент через v(t), тогда скорость тела М2 в тот же момент равна kv(t). Пути s1 и s2, пройденные телами М1 и M2 за промежуток времени от t=0 до t=T, равны следующим интегралам:

 

 

 Но так как путь, пройденный вторым телом, в раз больше пути, пройденного первым телом (т. е. s2=ks1), то
Иначе говоря, числовой (постоянный) множитель можно выносить из-под знака интеграла.

Второе замечание. Пусть тело М1 дви­жется в некотором направлении, а по его поверх­ности движется в том же направлении тело М2. Например, баржа плывет по реке, а по ее палубе идет человек. Обозначим скорость дви­жения тела M1 через v1(t)а скорость пере­мещения тела М2 по поверхности тела М1 — через v2(t). Тогда путь, пройденный телом Мза время от t=0 до t=T, равен

 

а путь, пройденный телом M2 по поверхности тела М1, равен

Общий же путь, пройденный в пространстве телом M2(как за счет собственного движения, так и за счет движения тела М1,которое его везет), равен

 

 

Но ясно, что скорость перемещения тела Мв пространстве равна v1(t)+v2(t),так что путь, пройденный этим телом, имеет значение:

Приравнивая оба найденных значения пути, получим:

 

т. е. интеграл от суммы двух (или несколь­ких) функций равен сумме интегралов от сла­гаемых.

Переходим к интегрированию многочленов. Пусть, например, нужно вычислить интеграл

 

 

Так как подынтегральное выражение есть сумма х2+(-3x)+5, то можно наш интеграл разбить на три:

 

 

 Во втором и третьем интегралах можно вынести за знак интеграла числовой множитель, после чего легко получим ответ:

 

 

 

 

Иначе говоря, интегрировать многочлены можно почленно. Вообще, если

 

некоторый многочлен nй степени, то его ин­теграл находится по формуле:

Print Friendly, PDF & Email