Преобразования подобия

Преобразования подобия

Преобразования, сохраняющие форму фигур, но, возможно, изменяющие их размеры, называ­ются преобразованиями подобия. Каж­дую фигуру преобразование подобия переводит в подобную ей фигуру F’, представляющую собой увеличенную или уменьшенную копию пер­воначальной фигуры; все размеры фигуры F’ равны соответствующим размерам фигуры F, умножен­ным на одно и то же число (рис. 15).

Это число называется коэффициентом подо­бия двух фигур. Подобные фигуры можно по­лучить, например, поместив под лампой вырезан­ную из куска картона фигуру F, плоскость ко­торой параллельна поверхности стола; в таком случае тень F’, отбрасываемая этой фигурой на стол, будет подобна (рис. 16). Более «математический» пример преобразования подо­бия представляет собой гомотетия с центром О и коэффициентом k, переводящая каждую точку А в такую точку А’ луча ОА, что

OA’/OA=k (рис. 17).

Некоторые свойства фигуры F’, подобной фигуре F, будут отличаться от свойств фигуры F; так, например, гомотетия с коэффициентом 2 переводит фигуру ABCD в фигуруA’B’C’D’, площадь которой в 4 раза больше площади фигуры ABCD (рис. 17). Но большин­ство свойств фигуры F’ будет совпадать со свойст­вами фигуры F: так, все имеющиеся на фигуре F’ углы будут равны соответствующим им углам, име­ющимся на фигуре F; отношение расстояний между какими-либо точками фигуры F’ будет равно отно­шению расстояний между соответственными точка­ми фигуры (см. рис. 15, где, скажем, AB/CD=A’B’/C’D’) и т. д. Таким образом, преобразования подобия меняют свойства геометрических фигур очень мало: окружность они переводят снова в окружность, квадрат — в квадрат, равнобедрен­ный треугольник с углом при вершине в 40° — снова в равнобедренный треугольник с углом при вершине в 40° и т. д.

Эти свойства преобразований подобия ино­гда могут быть использованы для решения со­держательных геометрических задач. Поста­вим, например, такую задачу: определить, что представляет собой множество середин всех отрезков AM, где точка А фиксирована, а точ­ка М пробегает, скажем, равностороннюю ги­перболу G (график обратной пропорциональной зависимости). Очевидно, что искомое множе­ство точек образует фигуру G’, гомотетичную гиперболе с центром гомотетии А и коэффициен­том гомотетии 1/2. Отсюда следует, что это будет точно такая же гипербола, только в 2 раза «меньшая» (такая, что расстояние между двумя точками гиперболы G’ в 2 раза меньше рас­стояния между соответствующими точками ги­перболы G; рис. 18).

Print Friendly, PDF & Email