Счет двойками, тройками и дюжинами
Однако вовсе не обязательно считать десятками. Можно, например, вести счет двойками или тройками. Для этого за основание системы счисления примем число 2 или 3, а в остальном будем поступать точно так же, как это делали, когда основание равнялось десяти. Для записи по двоичной системе понадобятся всего две цифры: 0 и 1. Число «два» в этой
системе запишется как 10, так как 2=1•2+0.
А чтобы не спутать нашу запись с обычной, будем справа внизу ставить маленькую цифру 2— это будет означать, что основанием системы служит число «два». Итак, 102 будет записью числа 2. Число 3=1•2+1, поэтому его записью будет 112.
Число 4 = 1•22+0•2+0•1, поэтому оно запишется в виде 1002. Записью числа 5 будет 1012, а числа 7 будет 1112.
Чтобы найти запись любого числа N, нужно определить остатки от последовательного деления этого числа на 2. Мы предоставляем читателям проверить, что записью числа 35 в двоичной системе будет 100 0112.
Если число N таково, что
2n≤N<2n+1, то его можно представить в виде:
N=аn2n+аn-12n-1+…+а12+а0,
т. е. запись этого числа в двоичной системе будет иметь вид:
N=anan-1…a1a0,
но здесь уже каждый из коэффициентов аi может принимать только два значения: 0 или 1.
Более подробно о двоичной системе, которая сейчас приобрела большое значение в связи с ее применением в быстродействующих вычислительных машинах, узнаете, если прочтете статью «Электронные вычислительные машины», помещенную в этом томе.
Для записи числа в троичной системе нужны три цифры, например 0, 1, 2. Число 3 здесь будет записываться как 103, а 4 — как 113. Записью числа 35 в той системе будет 10223.
Приведем таблицы сложения и умножения чисел, записанных по троичной системе: См выше табл. умножения.
Но можно считать и дюжинами, т. е. пользоваться системой счисления с основанием двенадцать. Еще не так давно в нашей стране и в Западной Европе некоторые предметы, например перья и карандаши, принято было считать дюжинами. Сервизы тоже обычно составляют из 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок, а комплекты мебели — из 12 стульев или кресел. Существовало даже специальное название для дюжины дюжин — гросс.
О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 часа, причем в повседневной жизни часы считаем только до 12, а затем начинаем счет сначала (час дня, два часа дня и т. д.). Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев-разбойников), что тоже свидетельствует о древнем происхождении двенадцатеричной системы счисления.
Посмотрим, как будут изображаться числа в этой системе. Во-первых, в ней должно быть двенадцать цифр. Значит, к нашим десяти цифрам надо прибавить еще две, например А для обозначения десяти и Б — для одиннадцати. Во-вторых, запись чисел в ней будет короче, чем в нашей системе, а таблица умножения длиннее. Число 12 запишется как 1012 (снова ставим значок 12 для того, чтобы знать, в какой системе сделана запись), число 13 — как 1112, число 35=2•12+11 — как 2Б12, а число 133 = 11•12+ +1 — как Б112, т. е. оно станет двузначным. Приведем таблицу умножения чисел, записанных в этой системе1:
Ниже мы расскажем о том, что когда-то существовали нумерации с основанием 20 и даже 60.
А теперь сделаем некоторые общие выводы: 1) всякое число, отличное от единицы, может служить основанием позиционной системы счисления; 2) в системе счисления должно быть столько цифр, сколько единиц содержится в основании системы.
Несмотря на то что принципиально все позиционные системы счисления равноправны, в разных случаях удобнее пользоваться разными системами. Например, как мы уже говорили, при счете на электронных вычислительных машинах в основном пользуются двоичной системой.
Сейчас мы приведем несколько задач, для решения которых удобнее будет воспользоваться не десятичной системой счисления, а другими.
1 При записи этой таблицы мы опускаем значок 12. Но не надо забывать, что все числа записаны в двенадцатеричной системе.