Счет двойками, тройками и дюжинами

Однако вовсе не обязательно считать де­сятками. Можно, например, вести счет двой­ками или тройками. Для этого за основание системы счисления примем число 2 или 3, а в остальном будем поступать точно так же, как это делали, когда основание равнялось десяти. Для записи по двоичной системе понадобят­ся всего две цифры: 0 и 1. Число «два» в этой

системе запишется как 10, так как 2=1•2+0.

А чтобы не спутать нашу запись с обычной, бу­дем справа внизу ставить маленькую цифру ₂— это будет означать, что основанием систе­мы служит число «два». Итак, 10₂ будет записью числа 2. Число 3=1•2+1, поэтому его записью будет 11₂.

Число 4 = 1•2²+0•2+0•1, поэтому оно запи­шется в виде 100₂. Записью числа 5 будет 101₂, а числа 7 будет 111₂.

Чтобы найти запись любого числа N, нужно определить остатки от последовательного деле­ния этого числа на 2. Мы предоставляем чита­телям проверить, что записью числа 35 в двоич­ной системе будет 100 011₂.

Если число N таково, что

2ⁿ≤N<2ⁿ⁺¹, то его можно представить в виде:

N=а_n2ⁿ+а_n-12^n-1+…+_а12+а₀,

т. е. запись этого числа в двоичной системе бу­дет иметь вид:

N=a_na_n-1…a₁a₀,

но здесь уже каждый из коэффициентов а_i мо­жет принимать только два значения: 0 или 1.

Более подробно о двоичной системе, которая сейчас приобрела большое значение в связи с ее применением в быстродействующих вычис­лительных машинах, узнаете, если прочтете статью «Электронные вычислительные маши­ны», помещенную в этом томе.

Для записи числа в троичной системе нуж­ны три цифры, например 0, 1, 2. Число 3 здесь будет записываться как 10₃, а 4 — как 11₃. Записью числа 35 в той системе будет 1022₃.

Приведем таблицы сложения и умножения чисел, записанных по троичной системе: См  выше табл. умножения.

Но можно считать и дюжинами, т. е. поль­зоваться системой счисления с основанием две­надцать. Еще не так давно в нашей стране и в Западной Европе некоторые предметы, напри­мер перья и карандаши, принято было считать дюжинами. Сервизы тоже обычно составляют из 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок, а комплекты мебели — из 12 стульев или кресел. Сущест­вовало даже специальное название для дюжи­ны дюжин — гросс.

О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 ча­са, причем в повседневной жизни часы счита­ем только до 12, а затем начинаем счет сна­чала (час дня, два часа дня и т. д.). Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев-разбойников), что тоже свидетельствует о древнем происхождении двенадцатеричной си­стемы счисления.

Посмотрим, как будут изображаться числа в этой системе. Во-первых, в ней должно быть двенадцать цифр. Значит, к нашим десяти циф­рам надо прибавить еще две, например А для обозначения десяти и Б — для одиннадцати. Во-вторых, запись чисел в ней будет короче, чем в нашей системе, а таблица умножения длин­нее. Число 12 запишется как 10₁₂ (снова ставим значок ₁₂ для того, чтобы знать, в какой системе сделана запись), число 13 — как 11₁₂, число 35=2•12+11 — как 2Б₁₂, а число 133 = 11•12+ +1 — как Б1₁₂, т. е. оно станет двузначным. Приведем таблицу умножения чисел, записан­ных в этой системе¹:

Ниже мы расскажем о том, что когда-то суще­ствовали нумерации с основанием 20 и даже 60.

А теперь сделаем некоторые общие выводы: 1) всякое число, отличное от единицы, может служить основанием позиционной системы счис­ления; 2) в системе счисления должно быть столько цифр, сколько единиц содержится в основании системы.

Несмотря на то что принципиально все по­зиционные системы счисления равноправны, в разных случаях удобнее пользоваться разными системами. Например, как мы уже говорили, при счете на электронных вычислительных машинах в основном пользуются двоичной системой.

Сейчас мы приведем несколько задач, для решения которых удобнее будет воспользовать­ся не десятичной системой счисления, а другими.

¹ При записи этой таблицы мы опускаем значок 12. Но не надо забывать, что все числа записаны в две­надцатеричной системе.