Эллипс

Эллипс

Вот еще пример на использование свойств линейных преобразований. Линейное преоб­разование уже не переводит окружность снова в окружность — оно переводит ее в другую линию, называемую эллипсом (рис. 25). Эллипс можно определить как линию, получаю­щуюся при сечении кругового цилиндра про­извольной плоскостью (рис. 26); это означает, что эллипс образуется из окружности в резуль­тате параллельного проектирования.

Заметим, что центр О окружности яв­ляется ее центром симметрии, т. е. что все проходящие через О хорды окружности делятся этой точкой пополам (рис. 27, а). Линейные преобразования не сохраняют отно­шения длин отрезков, принадлежащих разным прямым; поэтому проходящие через точку О радиусы окружности переходят в «радиусы» эллипса S’, пересекающиеся в одной точке О’, но уже не равные между собой (рис. 27, б). Но отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой, при линейном преобразовании сохраняется, и поэтому все проходящие через точку О’ хорды эллипса S’ делятся в этой точке пополам. Таким образом, мы убеждаемся, что каждый эллипс S’ обладает центром сим­метрии О’; эту точку О’ часто называют про­сто центром эллипса.

Число примеров подобного рода можно увели­чить. Проведем из точки М к окружности каса­тельные МА и MB (рис. 28. а). Мы знаем, что МА=MB; что ОМ^АВ, где О — центр окружности S’, что АК=КВ, где К — точка пересечения ОМ и АВ (все эти факты следуют из того, что прямая ОМ есть ось симметрии; см. рис. 28, а). Равен­ство отрезков МА и МB не может быть перене­сено на эллипс (отношение длин отрезков, при­надлежащих разным прямым, не сохра­няется при параллельном проектировании); перпендикулярность прямых ОМ и АВ также характерна именно для окружности (углы не сохраняются при линейных преобра­зованиях). А вот то обстоятельство, что отрез­ки АК и КBпринадлежащие одной прямой, равны между собой, имеет место и в случае эллипса: если из внешней точки М’ провести к эллипсу S‘ с центром О’ касательные М’А’ и М’В’, то прямая О’М’ разделит хорду А’В’ пополам (рис. 28, б).

Докажем еще, что середины всех параллель­ных между собой хорд эллипса принадлежат одной прямой, проходящей через центр эллипса (диаметр у эллипса). В самом деле, пусть наш эллипс S’ получился линейным преобразованием (скажем, центральным проектированием) из окружности S. Середины всех параллельных между собой хорд окружности принадлежат одной прямой, проходящей через центр О окружности и перпендикулярной проведенным хордам (рис. 29, а). При линейном преобразо­вании параллельные между собой хорды окруж­ности переходят в параллельные хорды эллипса S’, а диаметр окружности, делящий ее хорды пополам,— в диаметр d’ эллипса, делящий попо­лам параллельные хорды эллипса (рис. 29, b).

Print Friendly, PDF & Email