Детская энциклопедия

Меню сайта











Задача на взвешивание

Вот одна из классических задач, решить которую можно сразу же, если выбрать систему счисления с подходящим основанием. Эта за­дача приведена в математической книге знамени­того математика XIII в. Леонардо Пизанского. Ею интересовался также в XVIII в. и Л. Эйлер.

Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кГ при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов.

Какие же гири нужно выбрать?

Сумма веса всех гирь должна быть не меньше 30 кГ. Но, конечно, этого недостаточно. Если мы выберем, например, гири весом в 1, 2, 3, 10, и 15 кГ, то с их помощью нельзя будет взвесить грузы в 7, 8, 9, 22, 23 и 24 кГ.

Разберем математический смысл задачи. Что­бы взвесить некоторый груз, помещая гири толь­ко на одну чашу весов, надо представить его вес в виде суммы весов имеющихся гирь, при­чем так, чтобы каждая гиря бралась не более одного раза. Если выбранные нами гири имеют вес p1, р2, р3, р4, р5, то груз весом Q30 кГ должен представляться так:

Q=a1p1+ а2p2+ а3р3 + а4p4 +a5p5,

где каждый коэффициент равен единице, если кладем соответствующую гирю на чашу ве­сов, и нулю, если не пользуемся ею при взве­шивании.

При такой постановке вопроса видно сход­ство с представлением числа Q в двоичной сис­теме счисления. Нужно только в качестве p1, p2. p3, p4, p5 взять гири весом: р1=1 кГ, р2=2 кГ, p3=4 кГ, р4=8 кГ, р5=16 кГ.

Сумма их веса 1 +2+4+8+16=31>30кГ. Кро­ме того, каждое число Q, не большее 31, можно представить в виде:

Q = b424 + b323+ b222 + b12 + b0,

где каждый из коэффициентов b0, b1 b2, b3, b4 бу­дет, как нам и нужно, либо нулем, либо еди­ницей.

Пусть, например, надо взвесить груз в 22 кГ. Запишем число 22 по двоичной системе:

22 = 101102.

Значит, нужно взять гири р2=2 кГ', р3= 4 кГ и р5=16 кГ.

Теперь несколько видоизменим задачу: пусть требуется выбрать 4 гири, с помощью которых можно было бы взвесить любой груз до 40 кГ, при условии, что гири можно класть и на ле­вую и на правую чашу весов.

Нетрудно убедиться, что для решения этой задачи нужно воспользоваться троичной систе­мой счисления, т. е. выбрать следующие 4 ги­ри: р1 = 1 кГ, р2 = 3 кГ, р3 = 9 кГ, р4 = 27 кГ.

Пусть, например, надо взвесить груз в 19 кГ. Число 19 представим в виде:

19 = 3•6 + 1 = 3•(3•2)+1=2•9+1=0•27+2•9+0•3+1=2013.

Теперь груз в 19 кГ кладем на правую чашу весов. На левую кладем груз в 1 кГ. Затем надо было бы положить туда еще 2 гири по 9 кГ, но у нас имеется только одна такая гиря.

Но 18=2•9 можно представить еще и иначе: 18=2•9=(3-1)•9=27-9,

т. е. на левую чашу весов надо положить еще гирю в 27 кГ, на правую — в 9 кГ.

Так же будем поступать и в других случаях. Если груз Q Ј 40 кГ, то его можно всегда пред­ставить в виде:

Q = b333+ b232+b13+b0,

где каждый из коэффициентов b0, b1, b2, b3 может равняться 0, 1 или 2. Если он равен О, то соответствующую гирю отставляем в сторо­ну; если 1, то кладем ее на левую чашу весов; если 2, то поступаем так, как только что делали, т. е. кладем гирю на правую чашу весов, а следующую по величине гирю — на левую. Следует помнить, что, хотя в различных си­стемах счисления числа записываются по-раз­ному, основные свойства их от этого не меняются: так, число 20 будет делиться на 2, в какой бы системе мы его ни записали, а 27 не будет де­литься на 2, но будет делиться на 3. Числа 3, 5, 7 останутся простыми в любых системах счисления. Однако признаки делимости, которые устанавливаются исходя из записи числа в определенной системе счисления, будут меняться вместе с основанием системы. Так, число де­лится на 5, если его запись по десятичной по­зиционной системе оканчивается нулем или пятеркой. Но число не всегда делится на 5, ес­ли на 0 оканчивается его запись в троичной сис­теме, например числа 103 (т. е. 3), 1003 (т. е. 9), 10003 (т. е. 27) не делятся на 5, а число 1203 (т. е. 15) будет делиться на 5.

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016