Детская энциклопедия

Меню сайта











Алфавитные нумерации. «Псаммит»

Мы видели, что непозиционные нумерации малоудобны: запись чисел в них очень длинна, арифметические операции производить трудно. По мере развития торговли и ремесла эти не­удобства становились все чувствительнее, и вот в Малой Азии, где были древнегреческие коло­нии, которые вели оживленную торговлю, в середине V в. до н. э. появилась система счис­ления нового типа, так называемая алфавитная нумерация. Ее обычно называют ионий­ской. В этой системе числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять — числа 10, 20, 30, ..., 90 и следующие девять — числа 100, 200, ..., 900. Таким образом можно было обозначать лю­бое число до 999.

Для обозначения чисел 1000, 2000, ..., 9000 греки употребляли те же буквы, что и для чисел 1, 2, ..., 9, но только при их записи ставили косую черточку слева внизу. Как это делалось, видно из прилагаемого рисунка. Далее, для числа 10 000 употреблялся знак М — это число называлось мириадой; две мириады,

т. е. 20 000, обозначались так: М. Этим спо­собом можно было обозначить все числа до мириады мириад, т. е. до 108. Более высокие десятичные разряды уже не могли быть запи­саны в ионийской нумерации и не имели назва­ния в древнегреческом языке.

Великий математик, механик и инженер древности Архимед (III в. до н. э.) посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий прием наименования сколь угодно больших чисел. Издавна у греков, как, впрочем, и у других народов, наглядным образом для представления об очень большом и даже неисчислимом коли­честве служило число песчинок. В народных сказках, например, встречается «неразрешимая» задача: сосчитать звезды на небе, капли в море или песчинки на земле. Архимед показал, что такие задачи можно решить. Свое сочинение он так и назвал «Исчисление песка» («Псам­мит»). В нем он построил систему счета, в кото­рой имелись числа, не только превосходящие количество песчинок в его родной Сицилии, но и такие, которые больше числа песчинок во Вселенной, если даже считать, что Вселенная сплошь заполнена песком. Но что же понимали греки времен Архимеда под всей Вселенной? В своем сочинении Архимед, следуя за грече­ским астрономом Аристархом Самосским, по­лагал, что в центре Вселенной находится Солнце, а Земля и другие планеты вращаются вокруг не­го. Вселенная имеет форму сферы, на поверх­ности которой расположены неподвижные звез­ды. Это была первая гелиоцентрическая систе­ма мира.

 
 

Для подсчета количества песчинок Архимед должен был, хотя бы приблизительно, опреде­лить размеры диаметров Вселенной и песчинки, а затем найти отношение их объемов. Архимед сделал это, опираясь на данные астрономии своего времени и на собственные исследования в этой области. Число песчинок, которое должно было у него при этом получиться, в нашей ну­мерации записывается так: 1063. Это очень боль­шое число, и до Архимеда не было средств ни для записи, ни для наименования чисел такого порядка.

Чтобы решить поставленную задачу, Ар­химед поступает следующим образом: все числа, меньшие мириады мириад, т. е. все числа от 1 до 108-1, он объединяет в первую октаду (т. е. восьмерицу) и называет их «первыми чис­лами». Число 108 служит единицей второй октады, в которую входят все числа от 108 до 102•8-1. Это — «вторые числа». Аналогично этому число 102•8 является едини­цей третьей октады, а числа от 102•8до 103•8-1 являются «третьими». Продолжая это построе­ние, можно дойти до мириадо-мириадной ок­тады, которая содержит числа от 10(108-1)8 до 108•108-1. Все эти октады Архимед объеди­няет в первый период. Число 108•108 служит единицей первой октады второго периода и т. д. Этим способом можно дойти до последнего чис­ла последней октады мириадо-мириадного пе­риода. Здесь Архимед останавливается, но ясно, что с помощью его способа можно дви­гаться и дальше, объединив все периоды в ка­кой-нибудь новый разряд.

Но и тех чисел, которые построил Архимед, вполне достаточно для подсчета числа песчинок во Вселенной. Необходимое число содержится уже в восьмой октаде первого периода. Архимед продолжил свое построение дальше для того, чтобы разъяснить метод наименования сколь угодно больших чисел.

Способ- Архимеда близок к позиционному, но понадобилось еще около тысячи лет, прежде чем человечеству удалось создать десятичную позиционную систему счисления.

 
 

Алфавитные системы были, кроме ионий­цев, у древних евреев, финикийцев, армян, грузин и других народов. Алфавитная нуме­рация была принята и в древней Руси. Над буквами, обозначавшими числа, ставился спе­циальный знак — титло. Это делалось для того, чтобы отличать их от обычных слов.

Удобны ли алфавитные системы?

Запишем в славянской нумерации число

444:



Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей. Это объясняется тем, что в алфавитных нумерациях имелось 27 цифр, тогда как в еги­петской, например, для обозначения всех чисел до 1000 было всего лишь три цифры.

Но алфавитные нумерации имели и круп­ный недостаток: с их помощью нельзя обозна­чать сколь угодно большие числа. Они были очень удобны только для записи чисел до 1000.

Правда, славяне, как и греки, умели запи­сывать и большие числа, но для этого к алфа­витной системе добавляли новые обозначения. Числа 1000, 2000 и т. д. они записывали теми же буквами, что 1, 2 и т. д., только слева внизу

ставился специальный знак

 

, например, 1000

обозначали

 

Аналогично:

 

 

 

Число 10 000 опять обозначалось той же бук­вой, что и 1, только без титла, но его уже обводили кружком:

 

Называлось это число «тьмой». Отсюда, между прочим, про­изошло выражение «тьма народу».

 

Итак, для обозначения тем первые 9 цифр обводились кружками:

 

 

10 тем, или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли «легион». Для обозна­чения легионов вокруг первых 9 цифр ставился кружок из точек:

 

и т. д.

10 легионов составляли новую единицу, которая называлась «леодр». Для обозначения леодров соответствующие числа заключали в кружок из черточек:

 

Эти обозначения можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в ней для обозначения единиц разных разрядов при­менялись одни и те же символы, к которым до­бавлялись знаки для определения разряда. Такая система называлась «малым числом». В ней обозначения не шли дальше миллионов. Но наряду с этим имелось и «большое», или «великое», число, в котором словом «тьма» обозначался уже миллион. Тьма тем (т. е. 1012) называлась легионом, легион легионов (т. е. 1024) — леодром, леодр леодров (т. е. 1048) — вороном и, наконец, число 1048 называлось колодой. В рукописи XVII в, говорится: «И более сего несть человеческому уму разумевати», т. е. для больших чисел уже нет названий. Для обозначения воронов буквы ставили в кружок из крестиков:

 

 

а колоду обозначали так:

 

 

Алфавитные нумерации, как мы говорили, были мало пригодны для оперирования с боль­шими числами, встречавшимися уже в древ­ности (например, при астрономических рас­четах). В ходе развития человеческого обще­ства эти системы уступили место позиционным. Но остатки алфавитных нумераций сохранились в нашем обиходе и по сей день. Так, мы часто нумеруем пункты при помощи букв алфавита. Правда, буквы служат только для обозначе­ния последовательного порядка, а не коли­чества. Никаких арифметических операций над такими буквами мы уже не производим.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016