Детская энциклопедия

Меню сайта











Рациональные и целые решения неопре­деленных уравнений первой степени.Метод рассеивания

Решить неопределенные уравнения первой степени с целыми или дробными коэффициен­тами в рациональных числах нетрудно. Возьмем, например, уравнение:

 

Чтобы найти все решения этого уравнения, узнаем, при каких рациональных значениях одного неизвестного соответствующее значение второго неизвестного рационально. Каждому значению неизвестного х соответствует един­ственное значение неизвестного у, определяе­мое из формулы:

 

Если значение неизвестного х рационально, то и значение неизвестного у, получаемое из формулы (5), рационально.

В формуле (5) роли неизвестных х и у раз­личны. Неизвестному х мы даем произвольное значение, а значение неизвестного у находится в зависимости от выбранного значения неизвест­ного х. В соответствии с этим называют неиз­вестное х свободным, а неизвестное у зависимым. Уравнение (4) можно разре­шить не только относительно неизвестного у, но и относительно неизвестного х. В таком слу­чае неизвестное у станет свободным, а неизвест­ное х зависимым.

Для отыскания целых решений уравнения (4) мы не можем непосредственно воспользо­ваться формулой (5), так как при целых зна­чениях одного неизвестного второе неизвестное не обязательно принимает целые значения. Чтобы найти все целые решения уравнения (4), найдем такие целые значения неизвестного x, для которых соответствующее значение неизвест­ного у является целым числом.

Это незначительное на первый взгляд из­менение постановки задачи открывает путь для ее решения.

Замечая, что

 

и пользуясь формулой (5), получим:


Мы должны узнать, при каких целых зна­чениях неизвестного х неизвестное у принимает целые значения. Так как при целом х число 2х-1 является целым, то из формулы (6) сле­дует, что неизвестное у при целом х только в том случае принимает целое значение, если выражение 

 

есть целое число.

Наша задача еще не решена, но мы приблизились к цели.

В самом деле, полагая
 
замеча­ем, что вопрос, при каких целых значениях неизвестного х неизвестное у принимает целые значения, равносилен вопросу о целых реше­ниях уравнения:

 

 

Таким образом, решение в целых числах уравнения (4) удалось свести к решению в це­лых числах уравнения (7). Чем же второе уравнение предпочтительнее первого?

 

 

Самым простым из неопределенных урав­нений первой степени естественно считать такое, у которого хотя бы один из коэффициентов при неизвестных равен 1 или -1. В этом случае неизвестное с таким коэффициентом при любых целых значениях остальных неизвестных принимает целые значения.

Поэтому чем меньше наименьшая из абсолютных величин коэф­фициентов при неизвестных, тем уравнение предпочтительнее. В уравнении (4) наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при не­известных равна 13, а в уравнении (7) равна 3. Как удалось достичь этого? Коэффициент при неизвестном х и свободный член уравнения бы­ли заменены остатками от деления этих чисел на 13. Но остаток от деления целого числа на на­туральное число всегда меньше этого натураль­ного числа. Понятно, почему с самого начала неизвестное у было выражено через неизвестное х: мы выбрали неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом. Теперь ясно, как поступать с уравнением (7).

При каких целых значениях неизвестного y1 неизвестное х принимает целые значения?

Из равенства:

 

 

находим, что неизвестное х при целых значениях неизвестного у1 только в том случае принимает

целые значения, если

 

есть целое число.

Обозначая через х1 это выражение, получим 1+y1=3x1, или

Таким образом, задача сведена к решению в целых числах уравнения (9). Но решить в целых числах уравнение (9) — значит узнать, при каких целых значениях неизвестного x1 неизвестное y1 принимает целые значения. Но y1 = 3x1-1, поэтому у1 принимает целые зна­чения при любых целых значениях неизвест­ного х1. Из равенств (8) и (6) последовательно найдем выражения для неизвестных x и y.

х=1+4(3x1-1)+ х1 =13х1-3, у=2(13x1-3)-1+3х1-1=29x1-8.

Из приведенных рассуждений следует, что формулы:

 

 

при x1=0,±1,±2,±3,... дают все целые реше­ния уравнения (4).

Аналогично решается уравнение с тремя и более неизвестными. Показанный на примере метод решения неопределенных уравнений в целых числах несущественно отличается от ме­тода, предложенного индийцами. В связи с тем что при решении неопределенного уравнения по этому методу оно сводится к цепи уравнений с уменьшающимися коэффициентами, индийские математики назвали этот метод методом рассеивания.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016