Детская энциклопедия

Меню сайта











Построение дедуктивной системы

Во-первых, ясно, что все правильные пред­ложения доказать нельзя. Действительно, вспом­ним, как доказываются геометрические пред­ложения. При этом обычно опираются на неко­торые другие предложения, которые были до­казаны раньше. Эти предложения в свою очередь доказываются ссылками на какие-то третьи теоремы и т. д. Эти ссылки мы могли бы про­должать до бесконечности, и процесс доказа­тельства при этом никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, о нем говорил, например, Ари­стотель (IV в. до. н. э.). И вот геометры при­шли к удивительно смелой мысли, что все гео­метрические свойства тел нашего пространства можно вывести из небольшого числа основных предложений — аксиом. Эти предложения принимались без доказательств, их справедливость подкреплялась многовековым опытом. Усилия многих геометров были направлены на то, чтобы отыскать все аксиомы, необхо­димые для построения геометрии. Система, в которой каждое предложение выводится на основании логических правил из конечного числа предложений, принятых без доказатель­ства, и получила название дедуктивной.

Первую такую систему геометрии — «Нача­ла» — пытался построить еще в V в. до н. э. Гиппокарт Хиосский. Было еще несколько попыток такого рода, но наиболее совершенная из них знаменитые «Начала» Евклида, которые были написаны около 300 г. до н. э. и слу­жили в течение более 2 тыс. лет образцом математической строгости.

Евклид разделил предложения, принятые без доказательства, на аксиомы и постулаты. В качестве постулатов он выбрал предложения, в которых утверждалась возможность выпол­нения некоторых простейших геометрических построений, например:

1) через две точки всег­да можно провести прямую линию,

2) из данной точки данным радиусом можно описать окруж­ность. Как нетрудно видеть, это именно те построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки. Всякое построение в гео­метрии Евклида осуществляется с помощью последовательного выполнения простейших по­строений: проведения прямых, окружностей и отыскания их точек пересечения, поэтому геометрия Евклида есть геометрия циркуля и линейки.

 

Среди постулатов Евклида особое место за­нимает так называемый V постулат о парал­лельности. В «Началах» он формулируется так: если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то при про­должении прямые пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше 2d (рис. 1).

 

Этот постулат сыграл огромную роль в дальнейшем развитии геометрии, о чем мы будем говорить дальше.

Кроме постулатов, Евклид принял также некоторые общие предложения — аксиомы:

1) две величины, порознь равные третьей, равны между собой;

2) если к равным величинам при­бавить равные, то и суммы будут равны;

3) це­лое больше части и др.

На основе своих постулатов и аксиом Евклид развил всю планиметрию, а с ее помощью по­строил элементы алгебры и учение о квадратных уравнениях. В его сочинении содержатся также общая теория отношений, которая применяется в учении о подобии, теория чисел, метод опреде­ления площадей и объемов и основы стереометрии. Венчает «Начала» учение о правильных вы­пуклых многогранниках, т. е. таких, все грани которых являются равными правильными много­угольниками и все многогранные углы при верши­нах тоже правильные и равные. Евклид доказал, что существует пять правильных многогран­ников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — и никаких других правильных мно­гогранников не существует (рис. 2).

 

Можно сказать, что в «Началах» Евклида были заложены основы не только геометрии, но и всей античной математики.

На новую, более высокую ступень исследо­вания основ геометрии ученые поднялись толь­ко в XIX в. Тогда было выяснено, что Евклид перечислил не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В дей­ствительности при доказательствах он ими пользовался, хотя и не формулировал их. Однако все это нисколько не умаляет роли Евклида, который первым показал, как можно и как нужно строить математическую теорию. Созданный им дедуктивный метод прочно вошел в математику. В этом смысле все последую­щие математики, вплоть до наших современни­ков, являются учениками Евклида.

При построении дедуктивной системы гео­метрии выяснилось, что доказательства служат не только для того, чтобы установить истин­ность некоторого предложения, но и для выяв­ления взаимосвязей между предложениями. Так, при анализе доказательства предложения о том, что сумма углов треугольника равна 2d, оказалось, что оно зависит от V постулата Ев­клида, тогда как, например, теорема о том, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного, от постулата параллельности не зависит.

Таким образом, доказательства помогают уяснить существо, смысл математических пред­ложений. В частности, можно в евклидовой геометрии выделить все те предложения, ко­торые доказываются без постулата параллель­ности,— они составляют так называемую абсолютную геометрию.

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016