Детская энциклопедия

Меню сайта











Линейные преобразования

Рассмотрим тень, отбрасываемую на солн­це вырезанной из картона фигурой F на плоскость a, не обязательно параллель­ную этой фигуре (рис. 19). Геометрически пе­реход от фигуры F к ее тени F' описывают как параллельное проектирование, переводящее каждую точку А фигуры F в такую точку А ' плоскости a, что АА'? а, где а — заданная прямая, характеризующая на­правление проектирования (ибо лучи солнца можно считать параллельными).

 

Фигура F' может значительно отличаться от первоначальной фигуры F; так, каждый знает, насколько сильно искажены на тени истинная форма и размеры предметов, если солнце стоит достаточно низко (рис. 20).Однако некоторое сходство между фигурой F и ее тенью F' и тут сохранится. Так, например, каждая, прямая, проведенная в плоскости фи­гуры F, перейдет снова в прямую линию (рис. 21); параллельные прямые перейдут в параллельные прямые; отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой (но не раз­ным прямым!), при параллельном проектировании сохранится (см. рис. 21, где AB/BC=A'B'/B'C').

 

Квадрат ABCD параллельное проектирование уже не переведет в квадрат; однако оно переве­дет его в параллелограмм, который отличается от квадрата не так уж резко.

Геометрические преобразования, обладаю­щие такими свойствами, называются линей­ными преобразованиями. К чис­лу линейных преобразований относится, напри­мер, так называемое сжатие к прямой l, которое описывается так: точку А плоскости сжатие к прямой l переводит в такую точку А', что точки А и А' лежат на одном перпендикуляре к прямой l и PA'/PA=k: где Р — основание перпендикуляра (рис. 22). Постоянное число k называется коэффициентом сжатия к прямой (при k>l было бы правильнее говорить о «растяжении» от

 

прямой l). Не­трудно убедиться, что сжатие к прямой также переводит прямую линию снова в прямую, па­раллельные прямые переводит в параллельные, сохраняет отношения длин отрезков, принад­лежащих одной прямой.

Знание свойств, сохраняющихся при линей­ных преобразованиях, позволяет использовать эти преобразования для доказательства неко­торых геометрических теорем. Разумеется, квадрат ABCD и получающийся из него параллельным проектированием параллелограмм A'B'C'D' имеют много разных свойств; однако те свойства, которые сохраняются при линейных преобразованиях, совпадают у квад­рата и у параллелограмма. Выберем произ­вольную точку Е на диагонали АС квадрата ABCD и проведем через нее отрезки MN ? АВ и PQ?ВС (рис. 23, а). Нетрудно видеть, что прямая А С явится осью симметрии по­лученного чертежа; поэтому прямые MQ и PN (симметричные относительно прямой АС!) пересекутся на прямой АС. А отсюда вытекает, что и отрезки M'N'?А'В' и P'Q'?В'С', пересекающиеся на диагонали А'С' паралле­лограмма A'B'C'D', отсекают от паралле­лограмма меньшие параллелограммы M'D'Q'E' и N'B'P'E', диагонали M'Q' и N'P' кото­рых пересекаются на прямой А'С' (рис. 23, б). Доказать это, не пользуясь линейными пре­образованиями, было бы затруднительно!

 
 

Рассмотрим еще и такой пример. Ясно, что каждый треугольник АВС можно параллельным проектированием перевести в равносто­ронний треугольник АБС' (рис. 24; тре­угольники АBС' и ABC расположены в раз­ных плоскостях; СС ' направление проекти­рования). При этом медианы треугольника АBС переходят в медианы треугольника АBС' (это следует из свойств параллельного проекти­рования).

 
 
 

Но медианы равностороннего тре­угольника являются одновременно и бис­сектрисами; поэтому они пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в тре­угольник АBС' А отсюда следует, что также и медианы исходного треугольника АBС пере­секаются в одной точке. Это доказательство теоремы о точке пересечения медиан треуголь­ника является, вероятно, простейшим!

 

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016