Детская энциклопедия

Меню сайта











Аксиома о параллельных

Выбрав систему аксиом, начинают доказы­вать теоремы все более и более сложные.

Весьма просто, например, с помощью тео­ремы о внешнем угле треугольника доказы­вается такая теорема:

Две прямые, перпендикулярные третьей пря­мой, не пересекаются.

Дадим теперь следующее определение:

Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными.

Пусть теперь на плоскости даны прямая а и точка А (рис. 7). Ясно, что через точку А можно провести прямую b, параллельную а. Для этого достаточно опустить из точки А перпендикуляр А В на прямую я, а затем из точки А провести прямую b, перпендикулярную АВ. Это и будет искомая параллельная. Итак, параллельные прямые существуют!

Теперь возникает вопрос: нельзя ли через точку А провести еще одну прямую b', также параллельную прямой а? (Напомним, что все происходит на одной плоскости, т. е. мы за­нимаемся только планиметрией.) Тому, кто не думал над этим раньше, не изучал этого вопро­са, хочется немедленно и категорически отве­тить: нет, нельзя! — прямая b' пересечет пря­мую а, возможно, очень далеко, но непременно пересечет!

Воздержимся пока от столь категорического ответа и постараемся вдуматься в поставленный вопрос глубже.

Возьмем на прямой а точку С и соединим ее с точкой А прямой с. Теперь будем передвигать точку С вправо по прямой а. При этом прямая с будет поворачиваться около точки А. Ясно, что прямая с никогда не сольется с прямой b, ибо b с а не пересекается. Но прямая с, повора­чиваясь в одном и том же направлении, будет неограниченно приближаться к какому-то оп­ределенному предельному положению, когда точка С неограниченно удаляется вправо. Те­перь спросим себя: будет ли прямая b той пре­дельной прямой, к которой неограниченно при­ближается прямая с? Или, может быть, прямая с будет неограниченно приближаться к пре­дельной прямой b', отличной от b, так что пря­мая с, поворачиваясь, не сможет войти внутрь угла α. Опять хочется отвергнуть это предпо­ложение.

Однако подумаем еще. Проведем из точки А луч а под углом j<90° к прямой АВ. Если этот угол φ мал, прямые а и d пересекутся на чертеже. Надо только продлить луч d. Если же теперь увеличить угол φ (см. рис. 7), прямые а и d пересекутся уже не на чертеже, а где-то за полем книги. Еще немного увеличим угол φ. Тогда при продолжении прямые a и d будут пересекаться дальше, скажем, на расстоянии нескольких сот метров. Ясно, что практически убедиться в этом весьма трудно, почти невоз­можно, но принципиально мыслимо.

Теперь еще увеличим угол φ. Пусть он от­личается от 90°, допустим, на одну миллион­ную долю градуса. Что же теперь можно ска­зать о пересечении прямых а и d? Хочется опять их мысленно продолжить. Но так ли хорошо мыслим мы это продолжение? Не теряет ли смысл этот мысленный эксперимент? Ведь если угол j достаточно близок к 90°, то продолжать прямые придется туда, куда не удалось заглядывать даже при помощи самых мощных теле­скопов.

Напомним, что аксиомы изучаемой сейчас геометрии должны отражать свойства свето­вых лучей и подвергаться многократной про­верке на опытах со световыми лучами.

Наше предположение о том, что лучи а и d пересекутся, основано действительно на большом практическом опыте. Говоря, что лу­чи a и d пересекутся даже очень далеко (на­пример, на расстоянии 100 млн. км), мы ба­зируемся на большом опыте астрономических наблюдений.

Предположение же о том, что лучи света a и d пересекутся за пределами видимости самых мощных телескопов, уже основано на чистой фантазии. Ведь неизвестно, как там по­ведут себя лучи света. Здесь уже нет никаких оснований ссылаться на эксперимент.

Мы договорились, что эталон прямизны — это луч света. Чтобы сделать какое-либо за­ключение о поведении прямых a и d, надо знать физические свойства световых лучей.

Итак, вопрос о том, можно ли через точку А провести две прямые b и b', параллельные а, зависит от свойств световых лучей. Ясно, что, если угол j очень близок к 90°, эксперименталь­ная проверка того, пересекутся ли лучи а и d, невозможна.

Следует хорошо уяснить, что вопрос о том, можно ли из точки А провести только одну прямую, не пересекающую прямую а, решается не так уж просто. Ничего категорически здесь сразу сказать нельзя.

Разумеется, неочевидность какого-либо ут­верждения ни в какой мере не означает его несправедливости. Ведь теорема Пифагора, на­пример, тоже не так уж очевидна: совсем не сразу можно поверить в то, что площадь квад­рата, построенного на гипотенузе любого пря­моугольного треугольника, равна сумме пло­щадей квадратов, построенных на его катетах. Чтобы убедиться в справедливости теоремы Пифагора для любого прямоугольного треу­гольника, ее доказывают. Доказательство это опять-таки основывается на тех же аксиомах.

Возможно, в нашем вопросе положение ана­логично. Иными словами, можно ли доказать, исходя из принятых аксиом, такое предло­жение :

(А) Через точку вне прямой нельзя, провести более одной прямой, параллельной данной.

Возможно, что еще Евклид задавался этим вопросом, однако ответа на него у Евклида нет. Но так как этим предложением (или эквивалентным ему) приходилось пользоваться при доказательстве других теорем, пришлось при­нять предложение (А) за аксиому1. В стабиль­ном учебнике предложение (А) названо аксио­мой о параллельных. Итак, принимают новую аксиому, хотя, как объяснялось выше, есть все основания усомниться в ее справедливости в мире световых лучей.

1 Евклид в качестве аксиомы принял другое предложение, которое, однако, равносильно предложению (А)

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016