Детская энциклопедия

Меню сайта











Чем отличаются различные геометрии

Для того чтобы иметь возможность подби­рать в каждом случае подходящую геометрию, целесообразно заранее иметь целый набор, как бы библиотеку таких мыслимых слепков. В на­стоящее время математиками разработаны ме­тоды построения бесконечного числа таких геометрий.

Различные геометрические пространства, т. е. различные мыслимые геометрические слеп­ки, различают по тому, насколько они отли­чаются от евклидова. Само это отличие назы­вают кривизной. Кривизна геометрического пространства определяется некоторыми числами, которые характеризуют величину отличия той или иной геометрии от евклидовой. Каждая «кривая» геометрия основывается, по существу, на некоторых аксиомах. Совокупность аксиом такой геометрии отличается от евклидовой си­стемы аксиом. Имеется один интересный и про­стой признак, которым можно характеризо­вать отличие геометрии от евклидовой, не перечисляя всех аксиом. Этим признаком является как раз теорема о сумме углов треугольника. В евклидовой геометрии она всегда равна 180°. В других геометриях это не так. Там сумма углов треугольника может быть больше или меньше 180°, в зависимости от размеров и рас­положения треугольника в пространстве.

Если обозначить сумму углов треугольника через а, то можно считать, что величина кри­визны характеризуется отношением величи­ны s-180° к площади треугольника. Величина а — 180° в различных геометриях может иметь знак плюс или минус. В соответствии с этим говорят, что пространство имеет положитель­ную или отрицательную кривизну.

В евклидовой геометрии s-180°=0; поэто­му говорят, что евклидово геометрическое про­странство имеет нулевую кривизну.

Выше было показано, что, развивая технику измерений, совершенствуя свои знания реаль­ного мира, мы неизбежно приходим к необхо­димости построения геометрии, отличной от ев­клидовой. Однако евклидова геометрия во мно­гих вопросах является отличным орудием прак­тики, инженерной техники и т. п. Смешон был бы, например, инженер, который стал бы учи­тывать, что две вертикальные линии отвеса не параллельны, а пересекаются в центре Земли. Еще меньше оснований у инженера предпола­гать, что в построенном треугольнике сумма углов отлична от двух прямых.

Евклидова геометрия в таких вопросах с большой точностью описывает реальный мир световых лучей, и не случайно изучение свойств пространства люди начали именно с евклидовой геометрии.

Все это, разумеется, ни в какой мере не ума­ляет важности неевклидовых геометрий. Они находят себе применение в важнейших теоре­тических и практических вопросах современ­ной физики и математики.

Первая неевклидова геометрия была по­строена Лобачевским. Многовековая привычка к понятиям евклидовой геометрии не дала возможности даже крупным математикам, со­временникам Лобачевского, понять его идеи. Триумф этих идей наступил позднее. Теперь они прочно вошли в науку о природе и хорошо известны каждому физику и математику.

Геометрические понятия тесно связаны с фи­зическими явлениями, происходящими в ре­альном мире. При этом следует иметь в виду, что геометрия применима не только к изучению явлений, связанных с распространением света. Можно рассмотреть и какие-нибудь другие реальные объекты, не имеющие никакого отно­шения к распространению света. Некоторые из них можно принять за эталон прямизны, подобно тому как это делалось с узкими снопи­ками световых лучей. Изучая эти объекты, мож­но подобрать аксиомы и построить соответст­вующую геометрию. Можно, например, в ка­честве эталона прямизны принять траектории твердых тел достаточно малого размера, дви­жущихся по инерции, т. е. при отсутствии воздействия на них внешних сил. Полученная при этом геометрия (как и геометрия, построен­ная для изучения световых лучей) будет лишь в первом приближении совпадать с евклидовой.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016