Детская энциклопедия

Меню сайта











Уравнения степеней выше второй

К уравнениям третьей степени пришли гре­ческие математики (Гиппократ, Архимед и др.) при решении геометрических задач: удвоение куба — нахождение ребра куба, имеющего двойной объем данного куба; трисекция угла — деление произвольного угла на три равные ча­сти и др. Геометрическое решение этих задач столкнулось с невозможностью построить цир­кулем и линейкой отрезок, выражаемый куби­ческим корнем. Эти задачи решались геометри­чески при помощи кривых — гиперболы, пара­болы и др. Все возможные случаи решения ку­бического уравнения геометрическими метода­ми рассмотрел среднеазиатский математик и знаменитый поэт Омар Хайям на рубеже XI и XII вв. Алгебраическое решение кубического уравнения, т. е. открытие формулы, которая позволяет выразить корни всякого уравнения третьей степени через его коэффициенты, на­шли в XVI в. итальянские математики С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Эта формула носит имя Кардано, хотя он не являлся основ­ным действующим лицом в данном открытии и сам признавал это. Существенно важным при решении кубического уравнения в общем слу­чае явилось выражение корней в тригонометри­ческой форме.

Алгебраическое решение уравнений четвер­той степени в общем случае нашел Л. Ферра­ри, ученик Кардано. Свой особый способ для этого дал Л. Эйлер в 1732 г.

Очень многие крупнейшие математики пред­принимали попытки решить алгебраические уравнения пятой степени в общем случае, т. е. пытались найти формулу, при помощи которой можно было бы вычислить корни любого урав­нения пятой степени по его коэффициентам. Эти усилия не дали результата. Многие математики (Г. Лейбниц, Л. Эйлер, К. Гаусс) вы­сказывали мысль, что для уравнений пятой и более высоких степеней в общем случае не су­ществует алгебраической формулы для выра­жения корней через коэффициенты.

 

Доказал это положение в 1824 г. норвежский матема­тик Н. Абель.

Однако многие частные виды таких уравне­ний могут быть решены алгебраически.

Французский математик Э. Галуа указал в 1830—1832 гг. метод, при помощи которого по виду уравнения можно установить, решает­ся оно алгебраически или нет.

Голландский математик А. Жирар (1629) высказал предположение, что уравнение n-й степени имеет n корней, если считать корнями отрицательные и мнимые выражения (сам Жи­рар не считал их корнями уравнения). Смелее эту мысль выразил в середине XVII в. Р. Де­карт, со всей же определенностью — И. Ньютон в конце XVII в.

Л. Эйлер в 1742 г. заявил, что всякое алгеб­раическое выражение может быть разложено на множители с действительными коэффици­ентами первой или второй степени. Эта мысль в иных словах означает, что всякое алгебраи­ческое уравнение имеет корень, который может быть числом действительным или мнимым, од­ним словом — комплексным. Строго это доказал двадцатидвухлетний К. Гаусс в 1799 г.

 

Для вычисления приближенных значений корней уравнений высших степеней существует много приемов, которые часто применяются на практике и к уравнениям третьей и четвер­той степеней, так как абсолютная точность кор­ня на практике не всегда нужна, а применение формул сложно. Самаркандский математик ал-Каши (XV в.) дал удобную приближенную формулу для нахождения корней уравнений третьей степени, а И. Ньютон и другие — для уравнений любой степени. Очень важный метод для этого дал Н. И. Лобачевский.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016