Детская энциклопедия

Меню сайта











Простейшие задачи

При решении геометрических задач коорди­натным методом постоянно приходится опирать­ся на несколько совсем простых стандартных задач: определение расстояния между точками, отыскание середины отрезка и др. При этом нужно иметь в виду, что выражение «дана точ­ка» означает, что дано ее координатное обозна­чение (х; у), т. е. заданы два числа х, у. «Найти точку» — означает найти ее координатное обозна­чение (х; у).

1) Расстояние между двумя точками.

Задача. Даны две точки А11; y1) и А2(х2; у2). Найти расстояние между ними (рис. 5).

Проведя вспомогательные линии, читатель без труда убедится, что искомое расстояние

d служит гипотенузой треугольника с катета­ми |х2-x1| и |y2-y1|, поэтому

 


(при возведении в квадрат знак абсолютной величины опущен, что, конечно, не меняет результата).

 

Важно заметить, что формула (1) верна при любом расположении точек A1 и А2. Проверьте, что, например, для А1 (-1; -2),

A2 (3; -5) ка­теты будут действительно равны |3-(-1)| и |(-5)-(-2)| и формула (1) дает: Для аналитической геометрии общность формул имеет очень большое значение. Бла­годаря этой общности при решении задач ана­литически не нужно задумываться о том или ином расположении данных точек; можно ре­шать задачу, даже не глядя на чертеж. Если чертеж и делается, то обычно лишь прибли­зительный, который служит только схемой, местом, куда записываются данные (коорди­натные обозначения точек и пр.), а затем зано­сятся и найденные уже промежуточные и, наконец, окончательные результаты.

2) Середина отрезка.

Задача. Даны концы отрезка А111), А2 (x2; у2) Найти его середину М. Обозна­чим координаты искомой середины М через x, у: М (х; у). Теперь, из рис. 6, видно, что

ордината у служит средней линией трапеции, поэтому

 
точно так же

 

Если знаки у1 и y2 противоположны, то это доказательство неубедительно, однако форму­лы (2) остаются справедливыми во всех слу­чаях. Проверьте это.

Задача 4. Дан треугольник АBС: 4(12; 6), В (-2; 4), С (6; -2). Найти длины его сторон и медиан.

Задача 5. На оси Ох найти точку М, которая находилась бы от точки А (3; -1) на расстоянии, равном 5.

Решение. Обозначим координаты иско­мой точки М через (х; у). Она лежит на оси х, следовательно, y=0. Остается определить х. Записав аналитически (см. формулу (1) условие задачи: АМ=5, получим уравнение для опре­деления х

Задача 6. Найти точку М (х; у), находя­щуюся на равных расстояниях от осей коорди­нат и удаленную на 5 единиц от точки А (-1; 6). Для определения х, у нужно лишь решить систему |x|=|y|, (x+1)2+(y-6)2 =52. Всего четыре ответа.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016