Детская энциклопедия

Меню сайта











Основные задачи на прямую

Как мы видели, прямая однозначно опре­деляется ее уравнением. Поэтому уравнение прямой может служить как бы ее «именем»; постоянно говорят: «прямая Ах+Ву+С=0»; это значит, что прямая задана уравнением Ах+Ву+С=0.

1) Построение прямой по ее уравнению. Чтобы построить прямую по ее уравнению, проще всего найти какие-нибудь две точки, удовлетворяющие этому уравнению; построив их, проводим через них прямую.

Пример. Построить прямую 2х-Зy+8=0. Этому уравнению удовлетворяют точки (-4; 0), (-1; 2), (5; 6),... . Строим какие-нибудь две из них (лучше не слишком близкие, иначе проведение через них прямой по линейке не будет достаточно точным), на­пример (-4; 0) и (5; 6), и соединяем линейкой.

2) Даны две различные точки A11; у1) и А2 (x2; y2). Найти прямую А1A2.(Это значит найти ее уравнение.)

Проверим, что искомое уравнение можно за­писать так:

(х-х1)•(y2-у1)-(у-y1)•(x2-х1)=0. (4)

Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, — значит, оно есть уравнение прямой. Подставив вме­сто текущих координат x и y сначала x1и y1, а затем x2 и y2, убеждаемся каждый раз, что уравнение обращается в тождество, — значит, эта прямая проходит и через точку (x1;y1), и через точку (x2; y2).

Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:


 

Однако последняя перестает служить, если х12или у12.

3) Даны две прямые: Ах+Ву+С=0 и А'х+B'y+C'=0. Найти точку их пересечения. Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя неизвестными).

4) Как следует из сказанного ранее, угло­вой коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство угловых коэффи­циентов двух прямых означает их параллель­ность. Так как 



 

то условие параллель­ности (k=k') прямых Ах+Ву+С=0 и A'x+B'y+C'=0может быть записано и так:




5) Условие перпендикулярности. Если пря­мые перпендикулярны, то углы α ипоэтому их угловые коэффициенты k и k' удов­летворяют равенству kk' =-1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем треугольник ОЕЕ' прямоугольный, k и -k' служат проекция­ми катетов на гипотенузу, поэтому их произве­дение равно квадрату высоты: k(-k') =OE12=1.Иначе условие перпендикулярности

пишут в виде:

 

 

или, в силу равенств


 

в виде:

 

 

Задача 7. Через точку (2;-3) провести прямую, перпендикулярную прямой 4х-3y+2=0.

 

 

Решение. Для изменения направле­ния на перпендикулярное достаточно (выполняя условие (6) обменять местами коэффициенты А, В и у одного из них изменить знак: А =4, В= — 3; теперь возьмем A'=+3, B'=4. Урав­нение искомой прямой уже можно написать: Зх+4y+C'=0. Неизвестный пока член С' оп­ределится из требования, чтобы данная точка (2;-3) лежала на этой прямой: 3•2+4•(-3)+С'=0, или C'=6.

 

Ответ: 3x+4y+6=0.

6) Расстояние между точкой и прямой. Ре­шим частный случай этой задачи: найти длину р перпендикуляра из начала О (0; 0) на прямую Aх+By+С=0. Решение удобно вести по та­кой схеме:

1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на Ах+Ву+С=0(см. задачу 7).

Ответ: Вх-Ау=0.

2. Проекция О' начала О на данную прямую получается совместным решением уравнений:

Ах+Ву+С= Вх-Ау=0.

Ответ: 

 

 

3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О и О':


 

 

Общий случай: «найти расстояние d от точки Р0(х0; у0)до прямой Ах+Ву+С=0 — может быть решен тем же путем. В результате получим, что искомое расстояние


т. е. расстояние от точки 00) до прямой Ах+Ву+С=0, равно частному от деления аб­солютной величины результата подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки 00) на «нормирующий» корень

 

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016