Детская энциклопедия

Меню сайта











Полярные координаты

При решении многих задач удобнее пользо­ваться так называемыми полярными координа­тами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР

(полярная ось). Положение точки М в этом слу­чае определяется двумя числами: ее расстоя­нием r от полюса и углом φ=РОМ (рис. 16). Числа r (полярный радиус) и φ (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое распо­ложение, когда полюсом служит начало декар­товой системы, а полярной осью — ось абсцисс;

 

 

Эти формулы позволяют вычислить декартовы координаты, когда известны полярные.

Пример. Выяснить форму кривой

(x2+y2)22(х22)

(она называется лемнискатой). Исследовать ее форму непосредственно по написанному уравнению не так легко. Перейдем к поляр­ным координатам. Заменив х и у по фор­мулам (11), получим:

 

 

  тогда рисунок подсказывает связь между по­лярными и декартовыми координатами точки: Или, сократив на r2 (при этом могла бы поте­ряться лишь одна точка кривой r=0), получим:

 

По этому простому уравнению легко построить нашу кри­вую. Кривая строится по точкам (рис. 17). Даем φ различные значения, например φ=0,

±15°, ±30°, ±45°, ±135°.. Вычисляем соответствующие

При значениях φ между 45 и 135°, а также меж­ду 225 и 315° косинус отрицателен и поэтому r мнимо: у кривой нет точек с такими значени­ями полярного угла.

Точки, у которых полярный радиус имеет постоянное значение r=С, образуют окруж­ность радиуса С, с центром в полюсе. При постоянном значении угла φ , φ =φ0, получает­ся луч, выходящий из полюса и наклонен­ный под углом φ0 к полярной оси. Полученные таким образом (т. е. при постоянном значении одной координаты) линии называются коорди­натными (рис. 18). В декартовой системе коор­динатные линии— прямые, параллельные осям.

Спираль Архимеда. Это кривая задается в полярных координатах уравнением r=Сφ , где С — постоянная (рис. 19).

При помощи этой кривой лю­бой угол можно делить на произ­вольное число (например, на три — трисекция угла) равных час­тей. Вот как это делается (рис. 20). Пусть на листе бумаги начер­чена спираль Архимеда, выходя­щая из полюса О полярной сис­темы координат, полярная ось ОР служит для спирали касательной.

Перенесем на этот чертеж задан­ный нам для разделения на n равных частей угол так, чтобы его вершина совпадала с полюсом, одна сторона — с полярной осью ОР, а другая его сторона легла в сторону возрастания поляр­ного угла φ  (против часовой стрелки). Обозначим первую (считая от О) точку пересечения этой дру­гой стороны с нашей спиралью буквой А; за­тем разделим отрезок ОА на n равных частей (что, как вы знаете, легко делается циркулем и линейкой) и проведем через точки А1, А2, ... деления отрезка ОА дуги окружно­стей с общим центром О до пересечения со спиралью; наконец, полученные точки B1, В2, ... пересечения соединим с полюсом — и данный угол POQ разделен на n равных ча­стей! Докажите это сами.

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016