Детская энциклопедия

Меню сайта











Координаты на сфере

Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них N назовем условно се­верным полюсом, другую S — южным. Какой-нибудь из «меридианов» (кратчайший путь по сфере из S в N) назовем начальным меридиа­ном; проходящую через центр О сферы и пер­пендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой — экватором, на экваторе изберем направление, скажем против часовой стрелки, если смот­реть из N. Положение любой точки М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой,—угол φ  между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходя­щей через М и ось SN (угол должен отсчиты­ваться в направлении, соответствующем вы­бранному на экваторе). Широтой точки М бу­дем называть угол θ между радиусом ОМ и плоскостью экватора (θ считается положитель­ным для точек северного полушария и отри­цательным для южного). Будем писать: М < φ ; θ>, ставя на первое место долготу, на второе — широту.

Пример. Проверьте правильность коор­динатного обозначения точек на рис. 21.

Все точки с одинаковой долготой φ0 запол­няют меридиан, уравнение которого поэтому φ=φ0. Все точки с одинаковой широтой θ0 заполняют параллель θ=θ0. Уравнение, связывающее текущие координаты φ и θ, опреде­ляет, как и в плоской геометрии, кривую; не­равенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, не­равенство θ< 0 определяет южную полусферу,θ>0—северную;θ=0 есть уравнение экватора. Если сферу отнести к декартовым коорди­натам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN — за ось z, ось х направив через точку <0; 0>, ось у — через<90°; 0>, то декарто­вы координаты х, y, z любой точки М сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М1 на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему коор­динат. Из рис. 21 видно, что для М1(х; у; 0) полярный радиус r=Rcosθ, а полярный угол φ совпадает с долготой точки М. Кроме того,

z=Rsinθ. Приняв во внимание формулы (11), получим:




 

 

По этим формулам вычисляют декартовы коор­динаты точки М (х; у; z), если известны ее координаты  φ и θ  на сфере.

На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать со и 6 пе­ременными, придавая им всевозможные значе­ния в естественных пределах 0φ<360°, -90°≤ θ≤+90°; тогда точка М<φ;θ> будет пе­ремещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы коор­динаты х, y, z выражены через один перемен­ный параметр t. Разница лишь в том, что те­перь х, у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное обра­зование), а поверхность (образование дву­мерное). Подобные уравнения называют пара­метрическими уравнениями поверхности; пере­менные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и   и  v. Итак, уравнения сферы запи­шем в виде:


 

 

Если из этих уравнений исключить параметры и, v (для этого проще всего возвести (13) в квадрат и сложить; к сожалению, исключе­ние переменных не всегда так просто), полу­чим обычное ее уравнение x2 + y2+z2=R2.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016