Детская энциклопедия

Меню сайта











Криволинейные координаты. Общая идея координат

На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю по­верхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за неболь­шим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Те­перь надо лишь снабдить линии каждого се­мейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по чис­ловой пометке находить нужную линию семей­ства (рис. 22).

Координатами точки М поверх­ности служат числа u, v, где u — числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v — пометка линий второго семейст­ва. По-прежнему будем писать: М (u; v), чи­сла и, v называются криволинейными коорди­натами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое се­мейство); каждому из них соответствует чис­ловая пометка, а именно значение долготы u (или φ). Все параллели образуют второе се­мейство; каждой из них отвечает числовая по­метка — широта v (или θ ). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.

В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого ци­линдра высоты Н, радиуса a (рис. 23). За пер­вое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой об­разующей припишем отметку u, равную длине дуги на окружности основания между началь­ной образующей и данной (дугу будем отсчиты­вать, например, против часовой стрелки). За второе семейство примем систему горизонталь­ных сечений поверхности; числовой помет­кой v будем считать высоту, на которой прове­дено сечение над основанием. При надлежа­щем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки М (х; у; z) нашей по­верхности:


 

(Здесь аргументы у косинуса и синуса не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения мож­но рассматривать как параметрические урав­нения поверхности цилиндра.

Задача 9. По какой кривой надо выре­зать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усе­ченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?

Решение. Воспользуемся параметри­ческими уравнениями поверхности цилиндра:

 

 

 

 


Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z=y. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравне­ние

линии пересечения в криволинейных координатах. После развертки по­верхности на плоскость криволинейные координаты и и v превратятся в декартовы коорди­наты.

Итак, кусок жести должен быть сверху очерчен по синусоиде 


 

Здесь

u и v уже декартовы координаты на плос­кости (рис. 24).

Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действи­тельно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у; z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записыва­ют так:х=φ (u; v), y=φ(u; v), z=ω(u; v),φ, ψ,ω— функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у, z, а значит, положение точ­ки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u=u0, получим выра­жение х, у, z через один параметр v, т. е. пара­метрическое уравнение кривой. Это — коор­динатная линия одного семейства, ее уравне­ние u=u0. Точно так же линия v=v0 — коор­динатная линия другого семейства.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016