Детская энциклопедия

Меню сайта











ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ. Жесткость балки 

Одним из самых важных понятий в мате­матике и ее приложениях является понятие функции. Всюду, где есть величины, связан­ные так, что с изменением одних (аргументов) меняются другие (функции), мы имеем дело с функциональной зависимостью. Эта зависимость может задаваться по-разному — форму­лами, графиками, таблицами. Бывают случаи, когда зависимость нельзя выразить формулой. Например, температура воздуха меняется с те­чением времени, однако формулы, выражающей температуру воздуха в данный момент вре­мени, нет (как легко жилось бы метеорологам, если бы такая формула была!). В некоторых случаях приходится довольствоваться графи­ком функции (например, самопишущий прибор термограф дает график температуры воздуха как функции времени) или только таблицей значений функции для некоторых значений аргумента.

Чаще всего, однако, для описания функций пользуются формулами. В школе изучают слу­чаи, когда эти формулы сравнительно просты. Например, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой S=πr2, тока от

сопротивления — формулой

 

 

Возни­кает вопрос: встречаются ли на практике зави­симости, выражаемые с помощью более слож­ных функций, например многочленов высо­ких степеней, показательной, логарифми­ческой и тригонометрических функций? Мы расскажем здесь о некоторых случаях, когда такие функции встречаются в задачах физики и техники.

Жесткость балки

Балками в технике называют деревянные или металлические брусья, на которых лежат перекрытия зданий. Балки должны выдержи­вать вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Под этой тяжестью они изгибаются. Если балки изогнутся слишком сильно, пере­крытие может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо рассчитать, выдержат ли балки на­грузку. Этими расчетами занимается специаль­ная наука — сопротивление материалов.

Прогиб балки зависит от очень многих при­чин. Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем стальная, длин­ная — сильнее, чем короткая, тонкая — силь­нее, чем толстая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной Е, называемой модулем Юнга.

Модуль Юнга измеряется в кГ/см2. Если из вещества с модулем Юнга Е кГ/см2 сделать стержень длиной 1 м и сечением 1 см2 и подвесить к этому стержню гирю в 1 кГ, то он вытянется на

 

Для стали модуль Юнга равен

2 150 000 кГ/см2 а для дуба — 105 000 кГ/см2, т. е. в 20 раз меньше.

Чем больше модуль Юнга, тем меньше про­гиб балки. Поэтому стальные балки прогиба­ются меньше, чем деревянные.

Исследование зависимости прогиба балки от материала, из которого она сделана, — это скорее дело физики, чем математики. Матема­тиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сече­ния. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную школьную линейку легко согнуть, если поло­жить ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро (рис. 1).

Этот опыт показывает еще, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказы­вается, дело не в площади сечения, а в его мо­менте инерции. Момент инерции I подсчи­тывают так. Сечение балки мысленно разре­зают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сече­ния балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен


 

а для квадратного сечения со стороной а равен 


 

Произведение EI модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на большом расстоянии от среднего слоя, напри­мер придать сечению форму, изображенную на рис. 2,

слева (двутавровые балки), или заменить сплошную балку трубой (рис. 2, спра­ва). Поэтому, например, в велосипедах делают корпус не из сплошных стержней, а из труб.

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016