Детская энциклопедия




Меню сайта




Реклама











Интеграл

Мы разобрали ряд задач из различных об­ластей физики, техники, геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. Каждый раз для приближенного вычисления некоторой величины (объема, пло­щади, пути и т. д.) мы получали сумму вида:

 

 

Здесь f(x) — некоторая функция, заданная на отрезке от а до b, а х0=а, х1..., хп-1, хп=b— точки на этом отрезке. Например, при вычисле­нии пути функция f(x) была скоростью в момент времени х (только время мы раньше обозначали буквой t, а не х, что, конечно, несущественно), а было равно нулю, а b равнялось времени Т движения автомобиля.

Суммы такого вида встречаются в матема­тике и ее приложениях очень часто. Их называ­ют интегральными суммами. Такие суммы дают значение искомой величины только приближенно. Но если мы будем брать точки х0, х1,..., хn все гуще и гуще на отрезке от а до b, то интегральные суммы будут прибли­жаться к некоторому числу, а именно к точному значению искомой величины. Это число назы­вается интегралом от функции f(x) на от-

резке от а до b и обозначается через

 

 

Таким образом,


 

где предел lim берется при условии, что число промежутков неограниченно увеличивается, а их длины стремятся к нулю.

В самом обозначении


сохраняются воспоминания об интегральной сумме, из ко­торой получается интеграл. В Италии букву 5 часто пишут в виде ?. Поэтому сам знак интег­рала есть просто первая буква латинского слова Summa (сумма). Вслед за знаком [ указывается, что суммировались выражения f(xk)(xk-xk-1). Только вместо разности xk-xk-1 пишут dx, где d — первая буква латинского слова differentia (разность). Понятие интеграла является одним из основных в математике. Пользуясь этим по­нятием, можно записать многие полученные ранее формулы гораздо короче и не прибли­женно, а точно. Например, формула объема лю­бого тела принимает вид:


 
где Н — высота этого тела, a S(h) — площадь сечения, проведенного параллельно основанию тела на высоте h от основания (см. рис. 7).

Формулу площади фигуры, изображенной на рис. 10, можно записать в виде:




где f(x) — высота кривой CD в точке с абсцис­сой х.

Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до Т, выражается через скорость v(t) по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 





 
 
----------------------------------------------------
Календарь
«  Сентябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930

Реклама

  • Новые статьи
    Каталог статей
    Как подготовить ребенка к школе
    Освоение навыков чтения
    Природные материалы на уроках труда

    Статистика




     
    Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
    2013 © 2017