Детская энциклопедия

Меню сайта











Геометрическое вычисление интегралов

Формулы (1) и (2) можно использовать для нахождения площадей и объемов различных тел. Но так как площади и объемы простых тел мы уже знаем, то, наоборот, с помощью этих формул можно вычислить значения некоторых простых интегралов. (Дальше, мы укажем, как можно сосчитать эти интегралы непосредственным вычислением, не прибегая к геометрии.)

Самой простой геометрической формулой вычисления площади является формула пло­щади прямоугольника: S=hb. Прямоугольник можно рассматривать как криволинейную тра­пецию, высота которой во всех точках одинакова

и равна h (рис. 11), так что его площадь может

быть записана в виде интеграла:

 


 где h — постоянная величина. Итак, мы доказали формулу:

 
 (h — постоянная). В частности, при h=1 получаем:


 
Вспомним теперь формулу площади прямо­угольного треугольника:


где h и b — катеты. Из рис. 12 видно,
 

что треугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию, высота у которой в точке с абсциссой х равна
(это вытекает из подобия треугольников

 

ОАВ и OCD). Поэтому площадь треугольника может быть записана в виде интеграла:

 

 

 Таким образом, мы доказали, что



Если треугольник ОАВ равнобедренный, т. е. если h=b, то получаем формулу:




 
  Наконец, рассмотрим еще один пример. Возьмем правильную четырехугольную пира­миду с ребром в основании, равным b, и высо­той, равной этому ребру (рис. 13). Поставим пирамиду на вершину (так, чтобы ось ее была вертикальной) и проведем плоскость парал­лельно основанию пирамиды на расстоянии х от вершины. Тогда в сечении получится квадрат

со стороной, тоже равной х, а площадь его S(х) будет равна x2. Поэтому по формуле (1) объем V пирамиды выразится интегралом:

 

 

Сравнивая эту формулу с известной из школьного курса формулой объема пирамиды, получим:

 

 

или:



Найденные выше формулы (5), (6), (7), оче­видно, можно объединить в одну общую фор­мулу:


при n=0, 1, 2.

Эта формула, как доказывается в математи­ке, справедлива не только при n= 0, 1, 2, но и при любых положительных значениях показа­теля n, например:

 

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016