Детская энциклопедия

Меню сайта











Применение интегралов

Мы научились вычислять интегралы от мно­гочленов. Этого уже достаточно, чтобы иметь возможность решать многие математические и физические задачи.

Покажем для начала, как просто получа­ются с помощью интегралов некоторые форму­лы, изучаемые в школе.

Выведем формулу пути равноускоренного движения. Если начальная скорость тела в мо­мент t=0 равна v0, а ускорение движения рав­но а, то в момент времени t скорость тела со­ставит v(t)=v0+at. Поэтому по формуле (3)

путь, пройденный телом с начала движения до момента Т, выражается формулой:

 

 

  Выведем теперь некоторые геометрические формулы. Сначала найдем, чему равен объем шара радиуса R. Конечно, нам достаточно найти объем полушара, а потом его удвоить. Рассе­чем полушар плоскостью, параллельной его основанию и отстоящей на х от основания (рис. 14). В сечении получится круг радиуса


(это получается, если приме­нить теорему Пифагора к треугольнику ОАВ). Поэтому площадь получившегося сечения равна:

Но тогда объем полушара (высота его равна R) выражается формулой:





Следовательно, объем всего шара равен:

 
4/3pR3

Но с помощью интегрального исчисления можно найти и такие площади и объемы, ко­торые не изучаются в школе. Найдем, напри­мер, площадь параболического сегмента АОВА, у которого хорда АВ равна b, а стрелка ОС равна h (рис. 15). Уравнение параболы имеет

вид y=аx2. В точке с абсциссой

 

ордината AD должна равняться длине стрелки h.

Поэтому

 

Но это значит, что

 Итак, наш параболический сегмент ограни­чен снизу параболой, у которой в точке с абсциссой х ордината

 

Мы легко можем теперь найти площадь криволинейного тре­угольника ОАD.

По формуле (2) она равна:

 

 

Площадь же прямоугольника ABED равна bh. Но площадь параболического сегмента по­лучается, если из площади прямоугольника вычесть удвоенную площадь треугольника

OAD, т. е. она равна

 

 
 

 

 

Круговой сегмент, имеющий небольшой цен­тральный угол, можно приближенно заме­нить параболическим сегментом с той же хор­дой и той же стрелкой (рис. 16). Поэтому для площади кругового сегмента имеет место при­ближенная формула:

Например, если центральный угол равен 60°, то приближенная формула дает результат  0,0893... R2, а точная 0,0906...R2. Таким об­разом даже для такого сравнительно большого центрального угла, как 60°, приведенная формула дает точность до 1,5%.

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016