Детская энциклопедия

Меню сайта











Умеете ли вы проводить касательную ?

Услышав такой вопрос, вы, вероятно, вспом­ните построение касательной к окружности и дадите утвердительный ответ. Но речь идет о касательной к любой кривой, а не только к окружности. А в школьных учебниках не только ничего не сказано о проведении каса­тельной к любой кривой, но даже не опреде­ляется, что это такое. Нельзя, разумеется, опре­делять касательную как прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку: ось параболы пересекается с ней только в одной точке (рис. 19), но вряд ли кому-нибудь придет в голо­ву говорить, что эта ось касается параболы.

Что же такое касательная к кривой и как ее провести? Постараемся ответить на эти во­просы. Проведем через точку М, лежащую на кривой, секущую MN (рис. 20).

Если теперь точку N приближать по кривой к точке М, то секущая будет поворачиваться вокруг точки М, все более приближаясь к некоторой прямой. Эта прямая и есть касательная к кривой в точке М. Для окружности это определение касатель­ной совпадает с обычным (рис. 21): по мере при­ближения точки N к точке М угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Итак, касательная это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается
 

точке М угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу.

Итак, касательная это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается (по (по

(по рассматриваемой кривой) к точке М.

Теперь нетрудно будет описать положение касательной с помощью некоторой формулы. Для этого будем считать, что кривая АВ яв­ляется графиком некоторой функции y=f(x). Обозначим ординаты точек M и N через y1 и y2, а их абсциссы — через х1 и х2. Рассматривая прямоугольный треугольник MNP с гипоте­нузой MN и катетами, параллельными осям координат (рис. 22), мы можем легко опреде­лить угол φ, под которым секущая наклонена к оси х:

 

 Но из рис. 22
 

ясно, что PN = у21, МР=х21. Таким образом,
Если теперь точка N начнет по кривой АВ при­ближаться к точке М, то секущая MN будет, поворачиваясь, приближаться к положению касательной, так что в пределе мы получим тангенс угла, под которым касательная накло­нена к оси х:




 

 

 

 

 Предел берется при условии, что точка N при­ближается к М, т. е. что значение х2 прибли­жается к х1.
 
 
 
 
 




 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016