Детская энциклопедия

Меню сайта











Формула Ньютона-Лейбница

Между дифференцированием и интегрированием имеется глубокая связь: формула (3) показывает, что путь находится по мгновенной скорости с помощью интегрирования, а фор­мула (9) утверждает, что скорость находится по пути с помощью дифференцирования. Это наводит на мысль, что действия дифференци­рования и интегрирования связаны друг с дру­гом примерно так же, как действия сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, т. е. что эти опе­рации взаимно обратны.

Например, пользуясь тем, что v(t)=s'(t), можно записать формулу (3) в виде:

 

Здесь s — путь, пройденный телом начиная с момента t=0.

Но может случиться и так, что пройден­ный путь отсчитывается не с момента t=0, a с какого-то более раннего момента (например, не с момента начала путешествия, а с момента выпуска автомобиля с завода). Тогда путь s придется записать в виде разности s(T)-s(0) пути, пройденного к моменту t=T, и пути, пройденного к моменту t=0. Равенство (3) примет тогда такой вид:

 

Таким же образом для любых двух моментов времени t=a и t=b справедливо равенство:

 

 

Вообще, для любой функции F(x) имеет место равенство:

 

 

  Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница — в честь знаменитых математиков И. Ньютона и Г. Лейбница, почти одновременно установивших ее в конце XVII в. (примерно через 70 лет после выхода в свет книги И. Кеп­лера «Новая стереометрия винных бочек»). Сле­дует сказать, что в геометрической форме эту формулу высказал учитель Ньютона И. Барроу в 1670 г. Он указал, что вычисление площа­дей — действие, обратное проведению каса­тельных.

Значение формулы Ньютона — Лейбница состоит в следующем: если мы знаем какую-нибудь функцию F(x), производная которой равна f(x), т. е. F'(х) =f(х), то легко вычислить интеграл

 

 

— он равен разности значений функций F(x) в точках b и а. Каждую функцию F(x), для которой F' (х)=f(х), назы­вают первообразной для функции f(x). Значит, если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то f(x) — производная для функции F(x).

Таким образом, вычисление интегралов сво­дится в основном к нахождению первообразных. А нахождение первообразных есть задача, об­ратная дифференцированию. Поэтому, чем большее число функций мы будем уметь диф­ференцировать, тем больше первообразных будем знать и тем больше интегралов сможем найти. Пока что мы умеем дифферен­цировать только многочлены. Этого уже до­статочно, чтобы интегрировать любые много­члены (не прибегая к примененным выше гео­метрическим приемам).

Но во многих задачах встречаются функ­ции, отличные от многочленов. Мы научимся сейчас дифференцировать показательную и тригонометрические функции.

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016