Детская энциклопедия

Меню сайта











Производные синуса и косинуса

Производные от тригонометрических функ­ций проще всего вычислить, исходя из физи­ческих соображений. Рассмотрим точку А, движущуюся по окружности радиуса R со ско­ростью ωR. Будем считать, что при t=0 точка А находилась в положении А0 (рис. 31).

Через t сек. точка пройдет путь длиной ωRt и окажется в положении А. Дуга А0А имеет длину ωRt, т. е. содержит ωt радиан, значит, и угол АОА0 равен ωt радиан. Поэтому коорди­наты точки А равны х=Rcosωt и y=Rsinωt (это легко выводится из треугольника АВО). Иными словами, проекция В точки А на ось Ох движется по закону x = Rcosωt, а проекция С этой же точки на ось Оу движется по за­кону у=Rsinωt. Найдем скорости этих ко­лебаний.

Для этого разложим скорость движения точки А на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Вектор скорости точки А (имеющий длину ωR) направлен по касательной к окруж­ности, проведенной в точке А, и потому обра­зует с осью Ох угол

 

а с осью Оу — угол ωt(рис. 32). Следовательно, его проекция на ось

Ох (т. е. скорость движения точки В) равна:

 

 а его проекция на ось Оу (т. е. скорость дви­жения точки С) равна:

  Мы доказали, что скорость колебания, про­исходящего по закону х=Rcosωt, равна: vx=-ωRsinωt. Так как скорость является производной от пути по времени, это означает, что



 

Точно так же доказывается (из рассмотре­ния движения точки С), что

 

 

 

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016