Детская энциклопедия

Меню сайта











Уравнение гармонических колебаний

Во многих случаях тела совершают коле­бания около положения равновесия под дей­ствием силы, величина которой пропорцио­нальна отклонению тела от положения равно­весия и которая стремится возвратить это тело в положение равновесия. Например, это имеет место для груза, подвешенного на пружине. Иначе говоря, сила, действующая на тело, вы­ражается формулой:

F=-ks,

где s — отклонение тела от положения равно­весия, а k — жесткость пружины. Поэтому (в силу второго закона Ньютона) дифференциаль­ное уравнение движения тела имеет такой вид:

ms" =-ks.

Обозначив положительное число

 

 

 мы сможем записать это уравнение в виде:

s''=-ω2s.

Это уравнение называется уравнени­ем гармонических колебаний, так как функция

при любых С1 и C2 является решением этого уравнения.

В самом деле, по формулам (13) и (14) ско­рость тела, движущегося по закону (20), равна:

 

 Продифференцировав еще раз, найдем уско­рение:



Но выражение, стоящее в скобках, равно s. Таким образом, взятая функция s действи­тельно удовлетворяет уравнению s"=2s. Можно доказать, что всякое решение этого уравнения имеет такой вид.

Итак, сила, пропорциональная отклонению тела от положения равновесия и стремящаяся вернуть его в это положение, вызывает гармо­нические колебания частоты ω, где

 

 

 (m — масса тела, k — коэффициент пропор­циональности).

Для колебаний электрической цепи можно также записать аналогичный закон, только надо заменить массу тела самоиндукцией ка­тушки, путь, пройденный телом,— напряже­нием на конденсаторе, а скорость тела — током и т. д. Поскольку законы, управляющие этими явлениями, совершенно аналогичны, то и коле­бания, возникающие в обоих случаях, записы­ваются одними и теми же формулами. А зату­хающие колебания возникают, если, кроме си­лы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия, действует еще сопротивление сре­ды, пропорциональное скорости движения тела (или сопротивление электрической цепи).

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016