Детская энциклопедия

Меню сайта











Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами

Предположим, что мы имеем два конечных множества, например корзину яблок и корзину груш. Желая установить, чего у нас больше — яблок или груш, мы можем (и это будет самое простое решение вопроса) сосчитать число плодов в каждой корзине. Получим два чи­сла, — сравнение их и даст ответ на наш вопрос.

Но если мы имеем два бесконечных множе­ства, то определить аналогичным образом, какое из них является «более бесконечным», а какое — «менее», нельзя по той простой причине, что бесконечное множество нельзя «сосчи­тать». Во всяком случае, мы не знаем, как это сделать. Поэтому постараемся ответить на во­прос, чего у нас больше — яблок или груш, не сосчитывая их, т. е. не пользуясь понятием числа. Вот какой представляется для этого путь.

Разложим наши яблоки, хотя бы на столе, и попробуем положить против каждого яблока по груше. Возможны три случая (рис. 2).

Первый случай: против каждого яблока дей­ствительно окажется груша, и при этом не только все яблоки, но и все груши окажутся разложенными. В этом случае, очевидно, у нас столько же яблок, сколько и груш.

Второй случай: против каждого яблока окажется по груше, но при этом еще останется несколько груш в корзине — в этом случае у нас больше груш, чем яблок.

Наконец, возможен последний, третий случай: стараясь разложить все груши так, чтобы против каждого яблока лежала груша, мы не достигнем цели — нам не хватит груш. Тогда, очевидно, груш меньше, чем яблок.

Как видите, мы смогли произвести количе­ственную оценку двух множеств — корзины яблок и корзины груш, не сосчитывая точно, сколько имеется тех и других плодов, но уста­новив, каких плодов больше, или убедившись, что их имеется одинаковое количество. Эту оценку мы произвели, установив, как говорят, взаимно-однозначное соответ­ствие между одним множеством и другим или частью другого. Для лучшего уяснения, что такое взаимно-однозначное соответствие между

двумя множествами, приведем еще несколько примеров.

Дается концерт. Чтобы на него пойти, надо купить билет. Перед нами два множества: мно­жество людей, которые хотят пойти на этот концерт,— обозначим его через А и множество билетов — обозначим его через В. Возможны разные случаи. Первый (не очень вероятный, но математически самый простой): все желаю­щие пойти на концерт приобрели билеты, и все билеты при этом оказались проданными. Тогда каждому элементу множества А (т. е. каждому человеку, желающему пойти на концерт) соот­ветствует определенный элемент множества В (купленный этим человеком билет). При этом каждый элемент множества В поставлен в соот­ветствие одному-единственному элементу мно­жества А (человеку, купившему этот билет). Установлено взаимно-однозначное соответст­вие между множеством А и множеством В, или установлено взаимно-однозначное отобра­жение одного из этих множеств на другое.

Однако может случиться, что каждый чело­век, желавший пойти на концерт, купил себе билет, но в кассе остались еще не распроданные билеты. Опять получается взаимно-однознач­ное отображение множества А, но уже не на все множество В, а только на некоторую его часть — на ту часть, или, как говорят, на то подмножество, множества В, которое состоит из всех проданных билетов. Может, наконец, случиться, что все билеты проданы, но не все желающие пойти на концерт смогли купить билеты. Тогда обозначим через А' мно­жество тех людей, которые не только хотели пойти на концерт, но и получили на него билет. Множество А' оказалось взаимно-однозначно отображенным на множество В.

В математике можно найти многочисленные примеры взаимно-однозначных соответствий. Например, каждой вершине треугольника или тетраэдра соответствует противоположная этой вершине сторона или грань. Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством всех вершин треугольника (тетраэдра) и множеством всех его сторон (гра­ней). Множество всех сторон правильного мно­гоугольника находится во взаимно-однознач­ном соответствии с множеством всех перпен­дикуляров, которые опущены на эти стороны из центра правильного многоугольника. Мно­жество всех боковых граней пирамиды нахо­дится во взаимно-однозначном соответствии с множеством апофем этой пирамиды и т. д.

Особенно существенным является тот факт, что взаимно-однозначное соответствие возмож­но и между некоторыми бесконечными множест­вами. Приведем примеры. Обозначим через А множество всех точек данной окружности, а через В — множество всех прямых, являющих­ся касательными к этой окружности (рис. 3, 1). Между множествами А и В установится взаим­но-однозначное соответствие, если мы каждой точке окружности поставим в соответствие ка­сательную в этой точке. Таким образом, каж­дому элементу множества А соответствует един­ственный элемент множества В, и каждый эле­мент множества В (т. е. каждая касательная) при этом поставлен в соответствие единствен­ному элементу множества А — точке прикос­новения данной касательной.

Второй пример. Возьмем две пересекающие­ся прямые a1 и b1 (рис. 3, II). Обозначим через А множество всех точек прямой a1, а через В — множество, состоящее из прямой b1 и из всех прямых, ей параллельных. Каж­дому элементу b множества В (т. е. каждой пря­мой b, параллельной прямой b1 или совпадаю­щей с ней) соответствует единственный эле­мент множества А — единственная точка пря­мой a1, в которой ее пересекает прямая b.

В качестве третьего примера возьмем уже рассмотренное нами множество равносторон­них треугольников

T1, Т2,...Тn,...,

 

каждый из которых, кроме первого, вписан в предыду­щий (рис. 3, III). Множество всех этих треугольников обоз­начим через X. Каждый тре­угольник получил определен­ное натуральное число n в ка­честве своего номера.

Номером треугольника Тn является натуральное число n. Этим, очевидно, установлено взаимно-одно­значное соответствие между множеством X на­ших треугольников и множеством всех нату­ральных чисел.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016