Детская энциклопедия

Меню сайта











Множество всех рациональных чисел счетно

В поисках несчетного множества обратимся к множеству всех рациональных чисел (чита­тель, конечно, помнит, что рациональными называются все целые и все дробные числа). Посмотрим, можно ли занумеровать все рацио­нальные числа с помощью натуральных. Для простоты рассмотрим сначала все положитель­ные рациональные числа и попробуем их как-нибудь занумеровать. Сразу же сталкиваемся с трудностью: среди положительных рацио­нальных чисел заведомо нет наименьшего чис­ла, каким является единица среди натураль­ных чисел: ведь каково бы ни было положительное рациональное число r, число

 

также является положительным рациональным чис­лом, и оно меньше, чем r. Предположим, мы обойдем эту трудность, начав счет с какого-нибудь рационального числа r1, которое со­гласимся считать первым. Но тогда на следую­щем этапе возникает такая трудность: какое рациональное число считать вторым, т. е. не­посредственно следующим в порядке нашего счета за числом r1? Дело в том, что, какое бы рациональное число r2>r1мы ни взяли, имеются рациональные числа большие, чем r1, и меньшие, чем r2, и таких бесконечное мно­жество, например числа:

 

 Таким образом, среди всех рациональных чисел, больших, чем выбранное нами число r1, нет наименьшего. Какое же объявить пер­вым из следующих за r1? Но возникшая труд­ность — кажущаяся. Она показывает только, что невозможно занумеровать рациональные числа с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы при этой нумерации возраста­ющим номерам соответствовали возрастающие числа. Придется попытаться занумеровать ра­циональные числа как-нибудь иначе, не стре­мясь к тому, чтобы число r2, первое после r, в порядке нашего счета, было и первым по величине, т. е. наименьшим из всех следую­щих за r1. А тогда нужная нам нумерация находится очень легко. В самом деле, каждое положительное ра­циональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби


(целое число nбудем при этом записывать в виде дроби


и также считать ее несократимой). Назовем высотой дроби


 — натуральное число q+р.

Под высотой рационального числа будем пони­мать высоту той единственной несократимой дроби, которая является записью данного ра­ционального числа.

Посмотрим, сколько приходится рациональ­ных чисел на каждую данную высоту.

Высоту 1 не имеет ни одно положительное рациональ­ное число (потому что, записывая рациональное число в виде несократимой дроби

 

 

 видим, что ее высота равна натуральному числу р+q, а так как p1, q≥1, то р+q≥2).

Высоту 2 имеет, очевидно, единственное рациональное число

 

 

 Высоту 3 имеют дроби 1/2 и 2/1, т. е. рациональные числа 1/2 и 2.

Высоту 4 имеют дроби

 

Среди них оставляем лишь несократимые


 Итак, высоту 4 имеют рациональные числа 1/3 и 3.

Высоту 5 имеют дроби

 

 среди которых нет сократимых, так что на высоту 5 приходится 4 числа. Высоту 6 имеют дроби


 
 среди которых несократимыми являются лишь первая и последняя; следовательно, высоту 6 имеют числа


Продолжая рассуждать таким образом даль­ше, мы прежде всего убеждаемся в том, что, каково бы ни было натуральное число h>1, есть лишь конечное число рациональных чисел с этой высотой.

В самом деле, дроби с высотой h — это, очевидно,

 

Их конечное число: h-1. Среди этих дробей некоторые могут оказаться сократимыми, а остальные дадут рациональные числа с высотой h.

Теперь уже очень легко занумеровать все положительные рациональные числа: мы начи­наем с наименьшей высоты 2 и идем дальше, все время увеличивая на единицу высоту и со­считывая то (всегда конечное) число рациональ­ных чисел, которое приходится на данную высоту. Таким образом, число 1=r1получает

номер 1. Далее идут два числа:

 

 и r3=2 высоты 3, потом два числа:

 

 и r5=3

высоты 4, потом четыре числа:

 

 

 


r9=4 высоты 5, два числа:


r11=5 высоты 6 и т. д. Получаем таблицу (через nh обозначено число рациональных чи­сел высоты h):

 

 

 

 Так как каждое рациональное число имеет своей высотой некоторое натуральное число h, оно найдет свое место в строке, соответствую­щей этой высоте, и получит определенный но­мер, не больший, чем число n2+n3+...+nh_1+nh.
 

 

 

Итак, множество всех положительных ра­циональных чисел есть счетное множество.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016