Детская энциклопедия

Меню сайта











Свойства совершенных чисел

«Совершенство» совершенных чисел не исчерпывается совпадением числа и суммы его делителей (см. Совершенные числа). Любители и профессио­налы-математики со временем обнару­жили еще несколько любопытных осо­бенностей таких чисел, например:

а) каждое из известных совершен­ных чисел может быть представлено:

1) в виде произведения 2 p-1(2р-1), где p—простое число:

V1=6=2(22-1);

V2=28=22(23-1);

V3=496= 24(25-1);

V4=8128=26(27-1);

V5=33550336=212(213-1);

2) в виде суммы последовательных степеней числа 2 от 2p-1 до 22(p-1):

V1=6=2+22;

V2=28=22+23+24;

V3=496=24+25+26+27+28;

V4=8128=26+27+...+211+212;

V5=33550336=212+213 +. . .+224

и т. д.;

б) каждое из известных совер­шенных чисел, начиная с V2, разла­гается на сумму кубов последователь­ных нечетных чисел:

V2=28=13+33; V3=496=13+33+53+73;

V4=8128 =13+33+53+73+93+113+133+153;

V5=33550336= 13+33+. . . + 1273 и т. д.;

в) складывая цифры каждого из известных совершенных чисел, начи­ная с V2, и повторяя этот процесс для получающегося результата неко­торое количество раз, всегда в конце концов получим число 1:

V2=28; 2+8=10; 1+0=1; V3=496; 4+9+6=19;

1+9=10; 1+0=1; V4 = 8128; 8+1+2+8=19;

1 + 9 = 10; 1+0=1; V5 = 33550336; сумма цифр=28; 2+8=10; 1+0=1 и т. д.; г) если за основание системы чисел принять не 10, а 2, как это теперь иногда приходится делать для использования электронных вычисли­тельных машин, то совершенные числа принимают такой вид:

по основанию 10 V1=6=2(22-1); V2=28=22(23-1); V3 =496=24(25-1); V4=8128= 26(27-1);

по основанию 2 V1=110; V2=11 100; V3=111 110 000; V4= 1 111 111 000 000 и т. д.

Как видим, в системе с основа­нием 2 число единичек совпадает с числом р в десятичной записи совер­шенного числа

 

а число нулей равно p-1. Желающим предлагаем попробо­вать свои силы в решении следующей трудной задачи, связанной с указан­ным выше свойством б).

 

Доказать, что каждое совершен­ное число вида

 

начиная с V2 , разлагается на сумму кубов нечетных чисел, где количество слагаемых равно

 

 

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016