Детская энциклопедия

Меню сайта











Удивительная алгебра. Д. Буль

До сих пор все рассматриваемые законы действий над множествами совпадали с зако­нами действий над числами. Однако на самом деле алгебра множеств вовсе не копирует в точ­ности алгебру чисел; она обладает и многими удивительными свойствами, не имеющими ме­ста в обычной алгебре. Мы начнем со второ­го дистрибутивного закона, получаемого из первого дистрибутивного закона: (А+В)С = АС+ВС заменой сложения умножением и наоборот:

АВ+С= (А+С) (В+С).

Как уже указывалось, в алгебре чисел этот второй дистрибутивный закон, вообще говоря, места не имеет. По-другому обстоит дело с ал­геброй множеств. На рис. 16, а

 

 

 

 

заштрихованы множества АВ и С, так что заштриховано на этом рисунке множество АВ+С. На рис. 16,б заштрихованы множества A+С и В+С, так что двойной штриховкой покрыто множе­ство (A+С)(В+С). Но легко видеть, что множество, покрытое на рис. 16,б двойной штриховкой, — это в точности то множество, которое заштриховано на рис. 16, а. Таким образом, для любых трех множеств А, В и С:

АВ+С= (А+С) (В+С).

Далее, выше мы отмечали курьезное равен­ство: а+1=1, получаемое из равенства а•0=0

заменой нуля единицей и умножения сложением. Но курьезным это равенство яв­ляется лишь в алгебре чисел. В алгебре же множеств, очевидно, для любого множества А:

А+I=I.

В самом деле, сумма А + I представляет собой множество, получаемое объединением универсального множества I и множества А. Но уже множество I содержит все имеющиеся в нашем распоряжении элементы, так что при­бавление к нему множества А ничего изменить не может: сумма А+I — это то же самое уни­версальное множество I!

Отметим еще необычные равенства:

А+А=А и АА=А,

также выполняющиеся для каждого множества А. В самом деле, сумма А+А представ­ляет собой объединение множества А с самим собой. Но при этом мы придем к тому же самому множеству А (рис. 17). Аналогично этому произведение АА есть пересечение множества А с самим собой, но это пересечение не отличает­ся от множества А (см. тот же рис. 17).

Последние два ра­венства можно еще об­общить. Различные множества можно сравни­вать друг с другом. Ес­тественно считать, что множество А «больше» множества В, если все элементы множества В содержатся в множе­стве А. Это соотношение записывается так: AB или ВА; при этом говорят, что «мно­жество А содержит множество В» или «множе­ство В содержится в множестве А». Так, мно­жество С девочек, сидящих в первом ряду (это множество состоит из школьниц Зои, Ка­ти и Наташи), содер­жится в множестве В учеников, сидящих в первом ряду: ВС (рис. 18). Графически соотношение АВ изоб­ражается тем, что фи­гура В целиком заклю­чается в фигуре А (рис. 19) или В совпадает с А1. Ясно, что если АВ и ВС, то АС (рис. 20); это утверждение аналогично извест­ному свойству неравенств: если а>b и b>с, то а>с.

Нетрудно видеть, что

если АВ, то А+В=А; АВ=В

 

(рис. 21 а, б). Так как можно считать, что АА, то отсюда вытекают и два выписанных ранее равенства:

А+А=А и АА=А.

Мы видим, что правила алгебры множеств во многом отличны от правил алгебры чисел. Поэтому, для того чтобы овладеть этой уди­вительной алгеброй, приходится не только «до­учиваться», но частично и «переучиваться»— отказываться от некоторых привычных пред­ставлений, связанных с опытом действий с чис­лами.

Вот, например, одно из многих необычных, с точки зрения алгебры чисел, тождеств:

(А+С)(В+С)А=АВ+СА

(рис. 22, а и б).

 

Укажем теперь еще одно отличие алгебры множеств от алгебры чисел, которое читатель, возможно, и не отметил. Имея дело с числами, мы можем сравнить между собой любые два числа а и b: всегда одно из них больше дру­гого (или эти числа равны). Для двух множеств А и В, однако, как правило, не будет иметь место ни одно из двух соотношений

 

 

 

и

 

Так, в случае указанных выше множе­ства А отличников и множества В учащихся, сидящих в первом ряду, ни одно из этих мно­жеств нельзя считать большим. Только если одно из двух множеств целиком содержится внутри другого, мы можем указать большее из них; для других же множеств А и В, гра­фически изображенных на рис. 23, а и б, ни­какое сравнение их невозможно. Таким обра­зом, лишь для некоторых пар множеств А т В можно указать, какое из этих множеств является большим.

Алгебра множеств с ее своеобразными за­конами действий, одновременно и напоминаю­щими правила действий над числами, и отлич­ными от этих правил, была впервые указана замечательным английским математиком про­шлого века Дж. Булем, отцом известной писательницы Этель Лилиан Войнич (автора романа «Овод»). По имени Буля алгебру мно­жеств часто называют «булевой алгеброй».

 

Основополагающее сочинение Буля, в котором впервые строилась булева алгебра, называлось «Исследование законов мысли»; оно было на­печатано в Лондоне в 1854 г., т. е. более ста лет назад. Название книги Буля сначала может показаться удивительным,— какое отношение имеет курьезная алгебра множеств к законам нашего мышления? На этот вопрос мы поста­раемся ответить ниже.

Поскольку законы действий над множест­вами отличаются от законов действий над числами, иногда считают, что эти действия нельзя обозначить теми же символами, которые используются в алгебре чисел. В математиче­ской литературе сумма множеств А и В часто обозначается через

 а произведение этих же множеств через


 
 При этом правила дей­ствий булевой алгебры множеств записывают­ся в следующем виде:

 
(коммутативные законы);

 

Мы, однако, предпочтем во всех случаях пользоваться знакомыми символами сложения и умножения.

1 Соотношение АВ, строго говоря, переносит в алгебру множеств не соотношение а>b алгебры чисел, а соотношение аіb («число а больше или равно b»).

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016