Детская энциклопедия

Меню сайта











Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множеств

Вернемся к установленным выше свойствам действий алгебры множеств. Сразу бросается в глаза чрезвычайно тесная связь между за­конами, относящимися к сложению множеств, и законами умножения. Выпишем снова эти законы:

А+В=В+А, АВ=ВА;

(А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС);

(А+В)С=АС+ВС, АВ+С=(А+С) (В+С);

A +0=A, AI=А;

А+I=I, АО=О;

А+А=А, АА=А

и т. д. Из этой таблицы видно, что всякое равен­ство, тождественно выполняющееся в алгебре множеств, при замене знака сложения множеств знаком умножения, и наоборот, и пустого множества О (если оно входит в наше равен­ство) универсальным множеством I, и наоборот, переходит в новое равенство, также тождест­венно выполняющееся.

Сейчас мы докажем это утверждение в общем виде. Для этого нам понадобится одна свое­образная операция алгебры множеств, сопо­ставляющая новое множество не с двумя задан­ными множествами (подобно сумме А + В и произведению АВ заданных множеств), а с одним множеством А. Эта операция на­зывается образованием дополнения и обо­значается чертой, поставленной над множе­ством. А именно, через

 

 (читается: «дополне­ние А») мы будем обозначать множество всех эле­ментов универсального множества I, не при­надлежащих множеству А. Так, если А есть множество отличников из нашего класса, то множество


 состоит из всех учеников, не яв­ляющихся отличниками. На диаграмме мно­жество ? изображается частью квадрата I, не покрытой фигурой А (рис. 24). Ясно, что


 
 (см. тот же рис. 24, на кото­ром графически изображены множества


 
 эти два равенства можно даже принять за определение множества
Отметим  еще, что


  (рис. 25).


 
 

 

Это последнее равенство короче записывают так:

 

 

Очевидно, что

 

 (так как все элементы входят в универсальное множество I и ни один элемент не входит в пустое множе­ство 0). Кроме того, легко видеть, что

 

т.е. если множество B составляет часть мно­жества А; то дополнение А составляет часть до­полнения В
(рис. 26, а, б): Докажем   теперь   следующие   два   важные соотношения:

и

 

 

или словами: дополнение суммы двух множеств совпадает с пересечением дополнений этих мно­жеств; дополнение произведения двух множеств совпадает с суммой дополнений этих множеств. В самом деле, па рис. 27, а заштрихованы множества А и В, а на рис. 27, б — их до­полнения

 

 Но ясно, что фигура, заштри­хованная на рис. 27, а. является дополнением до всего квадрата I фигуры, покрытой на рис. 27, б двойной штриховкой, т. е. фигура


 
 это и доказывает равенство

 Аналогично, фигура, покрытая на рис. 27, а двойной штриховкой. дополняет до всего квадра­та фигуру, заштрихованную на рис. 27,6, от­куда следует, что

 Из доказанных соотношений нетрудно вы­вести наше утверждение, позволяющее по каж­дому соотношению алгебры множеств построить новое соотношение. Рассмотрим какое угодно тождество алгебры множеств, например первый дистрибутивный закон:

(А + В)С = АС + ВС.
Так как множества (А+В)С и АС + ВС
совпадают, то совпадают и дополнения этих множеств:


Но   мы   знаем,   что
 

поэтому


 

С   другой   стороны,   нам   известно,   что


Таким   образом,

 

 Далее, в силу того же закона


 
алгебры множеств, имеем:
Но

поэтому


Таким образом, мы приходим к равенству:

которое, очевидно, лишь по форме отличается
от  второго  дистрибутивного   закона:
АВ+С=(А+С)(В+С)

где вместо самих множеств А, В и С выступают их дополнения

 

Но это совершенно несущественно, поскольку как сами рассматри­ваемые множества, так и их дополнения про­извольны. Таким образом, с помощью образо­вания дополнения мы вывели из первого ди­стрибутивного закона второй дистрибутивный закон.
Точно таким же путем можно из любого тождества алгебры множеств получить другое тождество, в котором всюду операция сложе­ния заменена умножением, и наоборот. При этом если в первоначальное тождество входили множества О и I, то в новом тождестве они за­меняются соответственно на I и О; это связано с тем. что

 

 

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016