Детская энциклопедия

Меню сайта











Решите сами следующие задачи

1. Условимся в следующих обозначениях:

 

 

 

А'+А+А+А=4•А и т. д. (α)

Доказать, что для произвольных целых чисел m и n справедливы равенства:

m•А+nА=(m+n)А; (β1)

m•(А+В)=m•А +m•В; (β2)

n•(mА)=(nm)А. (β3)

Справедливость формул (b) делает целесооб­разным называть вектор mА произведе­нием числа т к вектора А. Таким образом, эта операция обладает свойством рас­пределительности (формулы β1 и β2) и сочета­тельности (формула β3).

2. Пусть С — середина отрезка АВ, С' — сере­дина отрезка АС и С" середина отрезка С'В.

Выразить радиус-векторы точек С' и С" через радиус-векторы точек А и В.

Ответ. 4С'=3. А+В; 4С"=А+3•В.

3. Средним отрезком произвольного четы­рехугольника (даже и не плоского) называют отрезок, соединяющий середины его двух про­тивоположных сторон. Доказать, что средние отрезки четырехугольника пересекаются и де­лят друг друга пополам.

Указание к решению. Если А, В, C,D — последовательные вершины четырехугольника и если точка М — середина среднего отрезка, соединяющего середину стороны АВ с середи­ной стороны CD, то 4•М=(А+В)+(С+D).

Точку пересечения обоих средних отрезков называют центроидом четырехугольника ABCD.

4. Каждая треугольная пирамида ABCD имеет три пары противоположных ребер: АВ и CD; АС и BD; AD и ВС. Средним отрезком

пирамиды называют отрезок, соединяющий се­редины какой-либо пары противоположных ре­бер.

Доказать, что все три средних отрезка пи­рамиды пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Эту точку называют центро­идом пирамиды.

5. Доказать, что если S1, S2, S3, S4 — сере­дины сторон А1А2, А2А3, А3А4, А4 А1 произволь­ного (даже и не плоского) четырехугольника, то они являются последовательными вершинами параллелограмма

6. Для произвольного восьмиугольника А1А2...А8 построены центроиды1 S1, S2, ..., S8 четырехугольников: А1А2А3А4, А2А3А4А5, ..., A5A6A7A8, A6A7A8A1, ..., А8А1А2А3.

Доказать, что восьмиугольник S1S2 ...S8 — центральный, т. е. что его диаметры S1S5, S2S6, S3S7, S4 S8 пересекаются в общей точке, которая делит каждый из них пополам.

7. Пусть точки B1, B2, ...,В6 — середины сто­рон А1А2, A2A3, ..., А5А6, А6А1 центрального шестиугольника. Доказать, что они также являются последовательными вершинами цен­трального шестиугольника.

Каково взаимное расположение центров обоих шестиугольников? Ответ. Они совпадают.

8. По двум заданным центральным шести­угольникам А1А2...А6 и B1B2...B6 построить шестиугольник C1C2...C6 такой, что его вер­шина Сi симметрична вершине Аi, относитель­но середины отрезка BiB i+1 (i = 1, 2, ..., 6;

B7=B1).

Что можно сказать о многоугольнике

C1C2...C6?

Ответ. Он центральный; его центр сим­метричен центру многоугольника А1,...А6 от­носительно центра многоугольника В1...В6.

9. Сформулировать и решить задачу для двух центральных восьмиугольников, анало­гичную предыдущей задаче.

10. Доказать, что

-(A+В)=(-А)+(-В). Указание. Используя сочетательное свойство сложения и формулы (4') и (4"), убе­диться в справедливости равенства:

(А+В)+{(- А) + ( - В)}=PP®.

11. Найти вектор X, удовлетворяющий уравнению:

Х+А=В.

Доказать, что это решение единственное.

Ответ. X=В+(-А).

Замечание. Вектор В+(-А) назы­вают разностью векторов; B (умень­шаемый вектор) л А (вычитаемый).

В векторной алгебре его принято обозна­чать: В-А. Поэтому в последующих задачах используется равенство:

В-А=В+(-А).

12. Доказать, что

(А+В)-С=А+(В-С).

Каждый из этих векторов принято записывать:

А + В — С.

13. Доказать, что

А-(В+С)=(А-В)-С. (Принята запись: (А-В)-С=А-В-С.)

14. Доказать, что

А-(В-С)=(А-В)+С. (Принята запись: (А-В)+С=А-В+С.)

15. По заданным радиус-векторам то­чек А и С выразить (вычислить) радиус-век­тор точки A', симметричной точке А относи­тельно точки С. Ответ. А'=2С-А.

16. Точка М отражается от вершины А1 произвольного треугольника A1A2A3, т. е. строится точка M1; симметричная точке М относительно точки А1. Полученная точка М1 отражается от вершины А2; получаем точку M2, которую отражаем от вершины А3; воз­никает точка М3.

Что можно сказать о взаимном расположе­нии точки М3 относительно исходной точки М?

Ответ. Точка М3 симметрична точке М относительно точки A4, которая является чет­вертой вершиной параллелограмма, построен­ного на векторах

 

 

17. На отрезке MN расположены точки M1 и М2 так, что M1 есть середина отрезка MM2, а М2середина отрезка M1N. Выра­зить радиус-векторы точек М1 и M2 через радиус-векторы точек М и N.

 

 

 

18. Разделим какую-либо медиану треуголь­ника АBС на три равных отрезка и рассмотрим ту точку деления S, которая ближе к основа­нию.

Выразить радиусы-векторы точки S через радиус-векторы точек А, В, С.

Указание. Конец А' медианы АА' имеет радиус-вектор

 

далее исполь­зовать результат предыдущей задачи.

 

 

он показывает, что точка S лежит и на медиане ВВ', и на медиане СС' (таким образом, полу­чено векторное доказательство известной тео­ремы о трех медианах). Точку S называют центроидом треугольника.

19. Для заданного произвольного шести­угольника А1А2А3А4А5А6 построим центроиды S1, S2, S3, S4, S5, S6 треугольников A1A2A3, А2А3А4, ..., А5А6А1, А6А1А2.

Доказать, что точки Si — последовательные вершины центрального шестиугольника.

1 См. задачу 3.

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016