Детская энциклопедия

Меню сайта











ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА. ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ. Необычная конференция

Вообразим, что нам удалось собрать мате­матиков разных веков и стран и поставить пе­ред ними вопрос: «Что вы можете сказать о формуле квадрата суммы?» Стенограмма этой необычной конференции могла бы выглядеть примерно так.

Вавилонский математик, живший 4000 лет назад, сказал, что никаких формул он не знает, так как считает не буквами, а числами. Но ему известно, что если взять два числа, на­пример 20 и 3, то для вычисления квадрата их суммы надо возвести в квадрат число 20, потом число 3, сложить эти квадраты и к сумме приба­вить удвоенное произведение чисел. Это же пра­вило годится и для любых других двух чисел.

Древний грек, живший 2300 лет назад, доказал это правило. Он нарисовал чертеж (рис. 1) и сказал, что площадь квадрата А С (т. е. квадрата, у которого точки А и С яв­ляются концами диагонали) равна сумме пло­щадей квадратов АВ и ВС и удвоенной площа­ди прямоугольника BD. Поэтому, если сторона квадрата АВ равна 20, а квадрата ВС равна 3, то площадь квадрата АС действительно можно подсчитать так, как предложил его вавилон­ский коллега.

Алгебраист XVI в. записал формулу квадра­та суммы в следующем виде:

 

В переводе это читалось бы примерно так: А + В в квадрате равно А в квадрате +В в квадрате +А на В2. (Как видите, вместо скобок он писал черту, степени обозначал сло­вами, а коэффициенты писал в конце.)

рис.1.

- Не слишком удобные обозначения,— сказал иронически математик XVII в.

— Однако и с этими обозначениями мы умеем делать значительно больше, чем древ­ние греки,— с обидой возразил выступавший.— Они умели решать лишь квадратные урав­нения, а мы справляемся и с уравнениями третьей и четвертой степеней. Жаль лишь, что слишком часто  эти   уравнения не решаются, так как полученные формулы приводят к не­лепой   операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Выступавший следующим алгебраист XVII в. написал формулу квадрата суммы уже в при­вычном для нас виде:

(а + b)22+2аb+b2.

Он добавил, что его предшественники слишком узко понимают эту формулу. Прежде всего, в ней а и b не обязательно являются длинами отрезков, а сами могут быть площадями, объ­емами, весами и даже отрицательными числами. Более того, вместо а и b в эту формулу можно подставить любые многочлены, например:

[x2+(х+1)]2 = x4+2х2(х+1)+(х+1)2.

Он сказал еще, что эта формула является только одной из большого числа знакомых ему алгебраических формул и что ему хорошо известно искусство буквенных вычислений, а это искусство и есть алгебра.

Алгебраист XVIII в. заявил, что о формуле квадрата суммы нечего много говорить: эта формула, как и все буквенные вычисления,— удел школьной математики. При этом он от­метил, что она всегда верна, и притом не толь­ко для положительных или отрицательных чисел, но и для комплексных, а эти числа совсем не такая уж нелепость! Что же ка­сается предмета алгебраической науки, то это вовсе не искусство буквенных вычисле­ний, а умение решать уравнения и системы уравнений. Для систем уравнений первой сте­пени у него даже есть общая формула решения.

Выступление математика XIX в. часто пре­рывалось возгласами недоверия и шумными восклицаниями. Было ясно, что это выступле­ние явилось для большинства участников полной неожиданностью. Да и в самом деле, выступавший заявил, что формула (а+b)2= а2+2аb+b2 верна далеко не во всех случаях! Например, английский математик У. Гамильтон занимался обобщением комплексных чисел. Он построил числа, названные кватернионами, у которых не одна, а целые три мнимые еди­ницы i, j, k. Так вот, для кватернионов (ко­торые находят много интересных применений) формула квадрата суммы просто неверна. Неверна потому, что здесь мы сталкиваемся со случаем, когда умножение некоммутативное, т. е. не выполняется переместительиый за­кон умножения (например, ij=k, ji=-k), а при выводе формулы квадрата суммы мы пользуемся равенством ab=bа.

Выступавший сказал, что другие матема­тики рассмотрели еще более удивительные обоб­щения комплексных чисел, для которых ум­ножение не только некоммутативно, но даже и неассоциативно, т. е. в общем случае

(аb)=/=(bс).

Выступивший вслед затем алгебраист XX в. сказал, что гиперкомплексные числа — это только примеры к тем общим теориям, которы­ми он занимается. Он может доказывать тео­ремы, которые верны не только для гиперком­плексных чисел одного вида, а для всех гипер­комплексных чисел (или для очень многих видов таких чисел). Он умеет складывать и умножать не только числа и многочлены, а и такие вещи, как квадратные таблицы, геомет­рические и алгебраические преобразования, логические суждения и т. д. (см. статью «Алгебра множеств и алгебра логики»).

- Как же вам удается оперировать с та­кими непохожими друг на друга вещами, как квадратные таблицы, гиперкомплексные числа, геометрические преобразования? Что может быть общего в действиях над ними? И как вы узнаете, какие формулы имеют место в тех или иных случаях?

— Весьма несложно; для этого в моем рас­поряжении имеется столь мощное оружие, как аксиоматический метод, который...

— Не может быть,— воскликнул оконча­тельно выведенный из равновесия древний грек,— ведь аксиомы относятся к области гео­метрии?!

...Прервем на этом нашу конференцию и постараемся разобраться во всем сказанном.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016