Детская энциклопедия

Меню сайта











Сила букв

Уже шестиклассники хорошо понимают, насколько алгебра сильнее арифметики: вместо того чтобы решать несколько задач, отлича­ющихся только числовыми данными, можно решить одну задачу с буквенными данными, а потом подставлять в полученный ответ раз­личные числовые данные. Достаточно напом­нить задачу:

Смешали а кГ конфет ценой m рублей за 1 кГ и b кГ конфет ценой n рублей за 1 кГ. Сколько стоит 1 кГ полученной смеси?

Решение этой задачи дается буквенной фор­мулой:

 

 

    где А — стоимость 1 кГ смеси.

При этом полученный алгебраический ответ часто можно упростить, пользуясь правилами алгебраических преобразований, и тогда под­ставлять числовые данные будет гораздо проще.

На этом факте основаны многочисленные «фокусы» с отгадыванием задуманных чисел.

Например, предложим выполнить следу­ющие действия: 1) задумайте число; 2) прибавьте к задуманному числу 5; 3) полученный резуль­тат умножьте на 3; 4) отнимите от получивше­гося теперь результата задуманное число; 5) отнимите 11; 6) разделите полученный ответ на 2. Если сообщить «фокуснику» полученный результат, то он сразу назовет задуманное число. При этом ему не придется выполнять в обрат­ном порядке всей сложной последовательности действий. В самом деле, если обозначить заду­манное число через х, то действия, которые предложено выполнить, записываются следу­ющим образом:

[(х+5)•3-x-11]:2.

Упрощая это выражение, легко найдем, что оно равно х+2. Поэтому «фокуснику» доста­точно отнять от сообщенного ему результата 2, чтобы получить задуманное число.

Однако шестиклассник (да и оканчивающий школу) не оценивает полностью всю силу бук­венных формул. Он считает, что буквы в них — это обязательно какие-то числа (заранее известные или искомые). На самом же деле, производя действия с буквами, он исполь­зует лишь аксиомы алгебры и их следствия. Поэтому все его вычисления годятся не только для чисел, но и для любых вещей, для которых выполняются эти аксиомы. Например, буквы могут означать не отдельные числа, а много­члены, алгебраические дроби и другие алге­браические выражения.

Ведь хорошо известно, что для сложения и умножения многочленов выполняются те же аксиомы (1), что и для сложения и умножения чисел. Например, если а и b — некоторые мно­гочлены, то а+b=b+а, аb=bа и т. д. От­сюда следует, что в любое алгебраическое тож­дество вместо букв можно подставлять не только числа, но и любые многочлены. Например, из того, что

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),

следует тождество:

(x2+х+1)3-(x2-х+1)3= 2х[(х2+х+1)2+2+х+1)(x2-х+1)+(x2-x+1)2].

Если, кроме чисел и многочленов, нам встре­тятся другие вещи, которые можно складывать и умножать, причем выполняются аксиомы (1), то для них будут верны все формулы и выводы алгебры.

Например, старшеклассники встречаются с комплексными числами. Верны ли для таких чисел формулы алгебры, или надо снова выяснять, чему равен куб суммы комплексных чисел?

Из сказанного следует, что проверять заново для комплексных чисел все формулы алгебры не нужно. Достаточно проверить аксиомы (1), а из них уже будут следовать все остальные формулы.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016