Детская энциклопедия

Меню сайта











Омар Хайям

Омар Хайям, один из крупнейших матема­тиков средневекового Востока, родился, ве­роятно, в 1040 г. и умер в 1123 г. (точные годы неизвестны). Он был уроженцем Нишапура, главного города Хорасана. Хорасан, страна, лежавшая на юго-восток и восток от Каспий­ского моря, входила тогда в состав государства сельджуков. Теперь значительная часть тер­ритории Хорасана находится в Иране, север­ные районы — в Туркменской ССР, а восточ­ные — в Афганистане.

Более всего Хайям прославился как автор замечательных четверостиший. Воспевая ра­дость человеческого бытия, он вместе с тем по­рицал несправедливые порядки своего време­ни и высмеивал официальную религию. Он мечтал о лучшем устройстве жизни на земле:

Когда б я властен был над этим небом злым,

Я б сокрушил его и заменил другим,

Чтоб не было преград стремленьям благородным

И человек мог жить, тоскою не томим.

Стихи Хайяма написаны на языке фарси, из которого развились нынешние персидский и таджикский. Сейчас они переведены на русский и многие европейские языки.

В молодые годы Хайяму пришлось много скитаться. Он жил и работал в Самарканде и Бухаре, а в 1074 г. был поставлен во главе обсерватории, организованной в столичном городе Исфахане. Здесь ученый разработал проект нового весьма точного календаря, ко­торый не смог, однако, найти применения. Вскоре один за другим умерли покровитель­ствовавшие Хайяму первый министр Низам ал-Мулк и султан Малик-шах, и обсерватория была закрыта. Мусульманское духовенство не­навидело вольнодумца Хайяма. При преем­никах Малик-шаха влияние духовенства уси­лилось и Хайям впал в немилость.

Математические сочинения Хайяма относятся к алгебре, арифметике и геометрии. Они написаны на арабском языке, которым, как правило, пользовались ученые в странах Азии и Африки, покоренных арабами.

Главный труд Хайяма называется «Трактат о доказательствах задач алгебры и ал-мукабалы». Уравнения в то время приводили для решения к нормальному виду, располагая в обеих частях уравнения члены с положитель­ными коэффициентами. Так, например, раз­личали три вида квадратных уравнений x2=рх+q, х2+рх=q и х2+q=рх и для каждого формулировали свой особый прием решения. Уравнение x2+рх+q=0 вовсе не рассматривалось, так как при р0, q0 у него не может быть положительных ре­шений, которые одни принимались во внима­ние. Операция переноса вычитаемых членов данного уравнения в другую часть, где они оказываются уже прибавляемыми, называлась ал-джабр («восполнение»). Операция приве­дения подобных членов в обеих частях урав­нения называлась ал-мукабала («противопо­ставление»). От слова ал-джабр произошло наше слово «алгебра», и уже у Хайяма говорится об «алгебраистах».

Трактат Хайяма посвящен в основном ку­бическим уравнениям. Первые задачи, при­водящиеся к кубическим уравнениям с целы­ми корнями, которые легко найти с помощью простого подбора, появились еще в древнем Вавилоне. Древние греки нашли геометриче­ский прием построения положительных кор­ней кубических уравнений. Прежде всего они применили его к задаче об удвоении куба, т. е. отыскании ребра х такого куба х3, который был бы вдвое больше данного куба у3. Величину х, т. е. корень уравнения х3=2у3, они построили как абсциссу точки пересече­ния двух парабол с уравнениями ах=y2 и 2ау=х2, отличной от начала координат. За­тем Архимед свел к уравнению вида х3+r=рх2 задачу о делении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых находятся в данном отношении. Он построил корень этого уравнения как абсциссу точки пересече­ния некоторых параболы и гиперболы и про­извел тщательный анализ задачи.

Проблема Архимеда заинтересовала мате­матиков арабских стран еще в середине IX в. Вскоре здесь занялись и другими вопросами геометрии, приводящимися к уравнениям третьей степени. Такие уравнения получили важное значение и для астрономии, а именно для вычисления необходимых астрономам три­гонометрических таблиц. Дело в том, что вычисле­ние синуса можно привести к решению уравнения вида х3+r=qx. Ученые создали различные приемы приближенного вычисле­ния корней уравнений третьей степени. На­ряду с этим возникла потребность в более общей теории.

Наиболее полную для своего времени тео­рию разработал Хайям, широко применив гео­метрический метод древних греков. Он рас­смотрел все нормальные виды кубических урав­нений, которые могут иметь положительные корни. Всего таких видов оказалось 14: одно двучленное, шесть с тремя членами и семь четырехчленных. Для каждого вида Хайям приводит соответствующее ему построение. Так, корень трехчленного уравнения х3+qx=r выражается абсциссой той точки пересечения окружности

 

которая отлична от начала координат. Анализируя построение, Хайям выясняет, при каких усло­виях уравнение данного вида имеет один или два положительных корня. Например, урав­нение х3+qx=r при любых значениях коэф­фициентов имеет один, и только один, положи­тельный корень. Это сразу видно из чертежа. Иногда Хайям указывает границы, в которых лежит корень уравнения того или иного вида. На примерах Хайям показывает, как общая теория применяется к исследованию уравне­ний с данными числовыми коэффициентами.

Все же в исследовании Хайяма есть про­белы. Так, он не заметил, что уравнение ви­да x3+qх=рх2+r может иметь в неко­торых случаях три положительных корня. Обнаружить это только с помощью чертежа трудно.

Подобно другим математикам средневекового Востока, Хайям пытался выразить корень кубического уравнения с помощью радикалов, наподобие корней квадратного уравнения. До­стичь успеха ему не удалось. Только в начале XVI в. итальянские математики открыли вы­ражение корня кубического уравнения с по­мощью кубических радикалов. Но уже Хайям пришел к убеждению, что сделать это с помо­щью квадратных радикалов в общем случае невозможно.

Геометрическая теория кубических урав­нений получила дальнейшее развитие как на Востоке, так и в Европе, в частности у Р. Де­карта. В XVI—XVII вв. геометрические прие­мы исследования начинают быстро вытесняться алгебраическими, более совершенными и удобными. Все же до сих пор иногда пользуют­ся геометрическим построением корней уравне­ний (не только кубических), чтобы примерно определить их значение или получить общее представление о числе положительных и отри­цательных корней и т. п.

В алгебраическом трактате Хайям упоми­нает свой труд по арифметике, в котором он изложил прием извлечения корней любой целой положительной степени из чисел. Ранее были известны способы извлечения квадратного и кубического корней. Этот труд до сих пор не обнаружен. Вероятно, Хайям вывел в нем так называемую формулу бинома Ньютона для целого положительного показателя. Впервые она встречается у другого выдающегося сред­неазиатского математика—Насирэддина Туси в учебнике, написанном в 1265 г.

Подобно грекам, математики стран Арабско­го Востока не имели никаких алгебраических обозначений и все уравнения, преобразования и т. д. записывали словами. Это чрезвычайно удлиняло и затрудняло как исследование, так и изложение. Нашему современнику, при­ученному к экономной и изящной символиче­ской записи, трудно читать старинные тракта­ты по алгебре.

Хайям написал также комментарии к «На­чалам» Евклида, в которых разрабатывал теорию отношений и пропорций и учение о параллель­ных. И здесь Хайям высказал ряд интересных мыслей, оказавших влияние на дальнейшее развитие математики.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016