Детская энциклопедия

Меню сайта











Пьер Ферма

Мы очень мало знаем о жизни этого великого математика. Известно, что он родился в 1601 г. на юге Франции в семье торговца кожами, изучал юридические науки и состоял советни­ком тулузского парламента (суда). Математике он мог посвящать только свободное от работы время. Но сила его гения была столь велика, что, несмотря на это, его идеи наложили глубо­кий отпечаток на все дальнейшее развитие тео­рии чисел, геометрии и математического ана­лиза. Жизнь Пьера Ферма была скромной, и, по-видимому, он провел ее только в Тулузе и ее окрестностях, не побывав даже в Париже.

Тогда еще не было ни академии наук, ни научных журналов, и отдельные любители нау­ки, разбросанные по всей стране, либо непо­средственно писали друг другу, либо посыла­ли письма в Париж к какому-нибудь любителю, который переписывал их и пересылал другим ученым. Так, свои захватывающие мысли и идеи Ферма излагал в письмах к друзьям, среди ко­торых были Р. Декарт, Ж. Роберваль, Б. Пас­каль, Ж. Дезарг и другие. И все они считали Ферма величайшим математиком Европы.

Очень немногие сочинения Ферма были изданы им при жизни, и то по настоятельному требованию друзей. Первое собрание сочинений великого ученого появилось только после его смерти. Умер Ферма в 1665 г.

Ферма установил основной принцип гео­метрической оптики, согласно которому свет распространяется из одной точки в другую по такому пути, для прохождения которого тре­буется минимальное время. Из этого принципа Ферма выводятся законы отражения и прелом­ления света.

Прекрасный знаток древности, Ферма пи­сал стихи по-гречески и по-латыни. Так же как и Паскаль, он был одним из создателей литера­турного французского языка. Тот, кто читал его письма в подлиннике, может по достоинству оценить изящество и красоту его стиля. Во время самой острой полемики с учеными, кото­рые иногда, не поняв какого-нибудь из рассуж­дений Ферма, резко нападали на него, Ферма неизменно сохранял благородное спокойствие, доброжелательство и терпеливо объяснял свою мысль. Из переписки Ферма рисуется именно таким человеком, к которому полностью при­менимы слова Аристотеля, сказанные по по­воду великого математика древности Евдокса Книдского: «Он был образцом умеренности, доброты и силы характера».

С наибольшей силой гений Ферма проявил­ся в математике. Так, еще до Декарта и в более совершенной форме он построил систему ана­литической геометрии, открыл общий метод для определения максимумов, минимумов и каса­тельных, существенно развил метод Архимеда и применил его для определения площадей, объемов и длин дуг. Но любимой его областью, которую он по существу открыл, была тео­рия чисел. Ферма сумел среди множества разнообразных задач и вопросов выделить имен­но те, которые стали центральными в теории чисел XVIII и XIX вв. Однако он, как правило, не сообщал доказательств своих теорем. Поэтому утверждения Ферма так и остались для после­дующих ученых проблемами, часть из которых и до сих пор не получила решения.

Остановимся на четырех проблемах Ферма.

1. Занимаясь теорией чисел, Ферма обратил внимание на то, что во всех вопросах арифме­тики чрезвычайно важную роль играют про­стые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Он попы­тался найти такую формулу, которая при подстановке вместо n целых чисел 1, 2, 3, 4, ... давала бы только простые числа. Ферма пола­гал, что именно таким будет выражение 22n+1. Но через 100 лет Л. Эйлер заметил, что хотя при n=0, 1, 2, 3, 4 формула и будет давать про­стые числа 3, 5, 17, 257, 65 837, однако при n=5 получается число 4 294 967 297, которое делится на 641. Числа вида 22n+1 носят теперь название чисел Ферма. Они встречаются во мно­гих исследованиях по теории чисел. Однако до сих пор неизвестно, имеется ли среди этих чи­сел бесконечно много простых или нет.

2. В поисках критерия для определения того, является ли данное число простым, Ферма на­шел следующую замечательную теорему: если n — простое число и а — целое число, которое не делится на n, то an-1-1 нацело делится на п. Так, например, 56-1 без остатка делится на 7, а 74-1 делится на 5. Но 25-1 не будет де­литься на 6, следовательно, число 6 непростое. Эта теорема получила название малой теоремы Ферма. Она была впервые доказана Л. Эйлером, и теперь известно много ее различных доказа­тельств. Она играет фундаментальную роль при исследовании проблем теории чисел и тео­рии групп.

3. Еще большую известность, чем «малая», получила «большая», или «великая», теорема Ферма, в которой утверждается, что уравнение

хnn=zn (1)

не имеет целых решений, если только n>2.

Случай n=2 был рассмотрен еще в древности; тогда же было доказано, что решений у такого уравнения будет бесконечно много. На полях «Арифметики» александрийского математика Диофанта, где излагалась эта задача, Ферма записал свою «великую» теорему. Он добавил, что нашел для нее «поистине чудесное доказатель­ство», однако не может его записать из-за недо­статка места. С тех пор прошло около 400 лет, но общее доказательство «великой» теоремы до сих пор не найдено.

Интересна ее судьба. С одной стороны, ма­тематики, стараясь доказать теорему, развивали все более и более тонкие методы, открывали новые обширные области для исследований. В настоящее время теорема доказана для всех n 10 000.

С другой стороны, эта теорема получила большую известность среди неспециалистов. Их привлекала простота формулировки, а также загадочное замечание Ферма о найденном им «чудесном» доказательстве. Сотни людей тра­тили и до сих пор тратят свое время и силы, пытаясь доказать «великую» теорему элемен­тарными средствами, ничего не зная об истории этой теоремы и о ее взаимосвязях с современными математическими теориями. Быть может, ни одна из теорем математики не принесла людям так много горьких разочарований и об­манутых надежд. Теперь уже ясно, что людям, незнакомым с современной высшей математи­кой, не следует приниматься за доказательство этой теоремы.

4. «Великая» теорема представляет собой одну из задач так называемого диофантова анализа. Уравнение с двумя или более неизвест­ными, как, например, хnn=zn, называется неопределенным. Одна из главных задач диофантова анализа: узнать, имеет ли заданное неопределенное уравнение с целыми коэффи­циентами целые решения или нет, а если реше­ния имеются, то конечное ли их число или бес­конечное и в последнем случае постараться оп­ределить их все (например, так, как это было сделано в древности для уравнения (1) при n=2). Сам Ферма исследовал неопределенное уравнение

x2-аy2=± 1. (2)

В «Началах» Евклида говорится, как найти бесконечное множество решений уравнения х2-2y2=±1

исходя из наименьшего: x0=1, y0=1. Сле­дующее решение будет: x10+2у0=3; у100=2. И вообще, если xn, yn — решение, то из него можно получить следующее решение по формулам:

xn+1=xn+2yn, yn+1=хn+yn .

Ферма исследовал уравнение (2) при любом целом неквадратном а. В одном из своих писем он поставил перед математиками следующие задачи: 1) дать способ нахождения наименьшего реше­ния этого уравнения; 2) найти формулы для нахождения всех остальных решений, если наименьшее уже известно. Сам Ферма, безус­ловно, владел методом решения обеих задач. Чтобы узнать, имеется ли метод у других ма­тематиков, он нарочно выбрал такие значения а, для которых наименьшее решение очень велико, и поэтому его трудно найти простым подбором.

Исчерпывающее решение обеих задач было получено только Л. Эйлером и Ж. Лагранжем в XVIII в.

Мы остановились здесь только на несколь­ких проблемах, которыми занимался великий математик. Но и их достаточно, чтобы оценить силу его гения.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016