РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. Разложение чисел на множители

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. Разложение чисел на множители

С разложением чисел на множители учащие­ся знакомятся еще в начальной школе. При оты­скании общего знаменателя им приходится раз­лагать на множители знаменатели слагаемых. Нужно разложение на множители и при сокра­щении дробей.

Одно из основных утверждений арифметики гласит: каждое натуральное число единствен­ным образом разлагается на простые множи­тели. Например:

72 = 2•2•2•3•3; 1001=7•11•13

(разумеется, разложения, отличающиеся лишь порядком множителей, мы считаем одинако­выми). Напомним, что простым числом назы­вается натуральное число, имеющее только два различных делителя (само число и 1). Число 1 не считается простым.

Будем теперь рассматривать не только нату­ральные числа, но и нуль, и отрицательные целые числа. Иными словами, возьмем мно­жество всех целых чисел. На первый взгляд здесь труднее определить понятие простого числа. Ведь, например, 7 = (-1)•(-7). Значит ли это, что число 7 перестает быть простым, если его рассматривать в множестве всех целых чисел? Оказывается, нет, надо только уточнить, что называется простым числом.

Заметим, что число -1 обладает следующим свойством: если разделить 1 на -1, то в част­ном получится целое число. Другим целым числом с таким же свойством является сама единица. Мы будем называть эти числа (1 и -1) делителями единицы.

Назовем целое число р простым, если оно не является делителем единицы, но в любом его разложении в произведение двух целых множителей один из сомножителей обязательно является делителем единицы. При таком опре­делении число 7 остается простым и после пере­хода к множеству всех целых чисел. Простым будет и число -7.

Сохраняет свою силу и основной закон арифметики, однако тоже с небольшим изме­нением формулировки: каждое целое число, от­личное от нуля, разлагается в произведение про­стых целых чисел; это разложение однозначно определено с точностью до перестановок со­множителей и возможного умножения неко­торых сомножителей на -1 (т. е. на делитель единицы). Например,

21 = 3•7=7•3= (-3)(-7)=(-7)(-3). Такие разложения принято считать не отли­чающимися друг от друга.

• РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

• Разложение чисел на множители     
• Удивительное разложение  
• Разложение многочленов на множители
• Разложение многочленов на множители и решение уравнений 
• Основная теорема алгебры многочленов 
• Решение уравнений в радикалах. Н.Г. Абель 
• Циркуль и линейка