Удивительное разложение

Удивительное разложение

При решении некоторых сложных вопросов теории чисел пришлось разлагать целые числа не только на целые множители, но и на множи­тели вида

где а и b — целые числа. Числа такого вида сами образуют кольцо. Для них, как и для целых чисел, можно определить понятия простого числа, делителя единицы и т. д. Например, число

— делитель еди­ницы, так как

Вели­ко же было удивление математиков, когда оказалось, что в кольце чисел
нару­шается основной закон арифметики о единствен­ности разложения на простые множители. На­пример,

Не однозначно разложение на простые мно­жители и в кольце чисел вида
 
где  а и b — целые. В этом кольце единственными делителями единицы являются те же числа 1 и -1, что и в кольце целых чисел. Однако




А вот в кольце чисел вида

(а и b—целые) имеются делители единицы, кроме 1 и -1, на­пример:

Но разложе­ние на множители в этом кольце однозначно (как всегда, с точностью до перестановки мно­жителей и умножения этих множителей на делители единицы). В теории чисел полностью изучен вопрос, в каких кольцах вида

имеет место однозначность разложения на простые множи­тели, а в каких нет. Мы не будем на этом оста­навливаться.

• РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

• Разложение чисел на множители     
• Удивительное разложение  
• Разложение многочленов на множители
• Разложение многочленов на множители и решение уравнений 
• Основная теорема алгебры многочленов 
• Решение уравнений в радикалах. Н.Г. Абель 
• Циркуль и линейка