Детская энциклопедия

Меню сайта











Разложение многочленов на множители

Разложение целых чисел на множители напоминает другой раздел элементарной мате­матики — разложение многочленов на множи­тели. Этот раздел очень нравился нашему зна­комому Васе Игнатьеву. Он умел разлагать на множители не только такие простые многочлены, как х2-4=(х-2)(х+2), но также спо­собом группировки мог разложить:

х2-3х+2=х2-х-2х+2=х(х-1)-2(х-1)=(х-1)(х-2).

Эти примеры он брал из различных задач­ников. Однако, когда он попытался сам при­думать пример и начал разлагать на множители многочлен х2+6х+4, у него ничего не вы­шло. Потом он сообразил, что даже многочлен х2-2 не разлагается на множители. Он за­бросил листок, на котором решал пример, и нашел его только через год, когда перешел в следующий класс. «Над чем же я думал! — воскликнул он, — ведь

 

Вася думал, что, научившись решать квадратные уравнения, он сможет разлагать на множители любой квадратный трехчлен. Но радость его была преждевременной; когда он взялся за многочлен х2+6х+10, то даже приме­нение иррациональных чисел ему не помогло. При решении квадратного уравнения х2+6х+10=0 появились квадратные корни из отри­цательных чисел, а про такие корни он еще ничего не знал.

Лишь в десятом классе Вася научился раз­лагать и такие многочлены — учитель расска­зал о комплексных числах, после чего он смог решать все квадратные уравнения, а тем самым и разлагать на множители все квадратные трех­члены:

х2+6х+10=+3+i)(x+3-i).

Почему же в разных классах Вася по-раз­ному подходил к задаче о разложении много­члена, почему все больше расширялся класс многочленов, которые он мог разлагать на мно­жители? Ларчик открывается просто — задача о разложении на множители не очень точно по­ставлена. Надо еще указать, какими могут быть эти множители, какими числами должны быть их коэффициенты. В седьмом классе Вася знал только рациональные числа. Поэтому он раз­лагал лишь на множители с рациональными коэффициентами. В восьмом классе он узнал иррациональные числа. Теперь он уже мог пользоваться и множителями с любыми дейст­вительными коэффициентами. Полное благопо­лучие наступило в десятом классе, когда Вася стал встречаться с многочленами, коэффициенты которых комплексные. Таким образом, не­достаточно сказать: «Разложите многочлен f(x)= а0хn+а1хn-1 ...+аn на множите­ли». Надо еще сказать, какому полю должны принадлежать коэффициенты этих множителей.

Если все коэффициенты многочлена f(x) принадлежат числовому полю Р, то говорят, что f(x) является многочленом над полем Р. Например, х2+6x+10 является многочленом над полем рациональных чисел, х2+2х+p — над полем действительных чисел, а многочлен х2+ix+3-i — над полем комплексных чисел.

Разумеется, если поле Р является частью поля P1 (или, как говорят математики, его подполем), то любой многочлен над полем Р может рассматриваться и как многочлен над полем Р1. Ведь его коэффициенты принад­лежат полю Р, а значит, и полю Р1. Такой под­ход бывает удобен при разложении многочле­нов на множители. Например, можно говорить о разложении многочлена x2+6х+10 над полем комплексных чисел.

Разложение многочленов на множители похоже по своим свойствам на разложение це­лых чисел. Только вместо простых чисел надо брать так называемые неприводимые многочлены — те, которые нельзя пред­ставить в виде произведения двух многочленов меньшей степени (над заданным полем). Дели­телями единицы являются только многочлены нулевой степени, т. е. отличные от нуля чис­ла. Как и для целых чисел, здесь каждый мно­гочлен единственным образом разлагается в произведение неприводимых множителей. Разу­меется, такие два разложения, как

 

отличающиеся лишь делителями единицы, счи­таются одинаковыми.

 





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016