.
Меню сайта
|
Разложение многочленов на множителиРазложение многочленов на множителиРазложение целых чисел на множители напоминает другой раздел элементарной математики — разложение многочленов на множители. Этот раздел очень нравился нашему знакомому Васе Игнатьеву. Он умел разлагать на множители не только такие простые многочлены, как х2-4=(х-2)(х+2), но также способом группировки мог разложить: х2-3х+2=х2-х-2х+2=х(х-1)-2(х-1)=(х-1)(х-2). Эти примеры он брал из различных задачников. Однако, когда он попытался сам придумать пример и начал разлагать на множители многочлен х2+6х+4, у него ничего не вышло. Потом он сообразил, что даже многочлен х2-2 не разлагается на множители. Он забросил листок, на котором решал пример, и нашел его только через год, когда перешел в следующий класс. «Над чем же я думал! — воскликнул он, — ведь
Вася думал, что, научившись решать квадратные уравнения, он сможет разлагать на множители любой квадратный трехчлен. Но радость его была преждевременной; когда он взялся за многочлен х2+6х+10, то даже применение иррациональных чисел ему не помогло. При решении квадратного уравнения х2+6х+10=0 появились квадратные корни из отрицательных чисел, а про такие корни он еще ничего не знал. Лишь в десятом классе Вася научился разлагать и такие многочлены — учитель рассказал о комплексных числах, после чего он смог решать все квадратные уравнения, а тем самым и разлагать на множители все квадратные трехчлены: х2+6х+10=(х+3+i)(x+3-i). Почему же в разных классах Вася по-разному подходил к задаче о разложении многочлена, почему все больше расширялся класс многочленов, которые он мог разлагать на множители? Ларчик открывается просто — задача о разложении на множители не очень точно поставлена. Надо еще указать, какими могут быть эти множители, какими числами должны быть их коэффициенты. В седьмом классе Вася знал только рациональные числа. Поэтому он разлагал лишь на множители с рациональными коэффициентами. В восьмом классе он узнал иррациональные числа. Теперь он уже мог пользоваться и множителями с любыми действительными коэффициентами. Полное благополучие наступило в десятом классе, когда Вася стал встречаться с многочленами, коэффициенты которых комплексные. Таким образом, недостаточно сказать: «Разложите многочлен f(x)= а0хn+а1хn-1 ...+аn на множители». Надо еще сказать, какому полю должны принадлежать коэффициенты этих множителей. Если все коэффициенты многочлена f(x) принадлежат числовому полю Р, то говорят, что f(x) является многочленом над полем Р. Например, х2+6x+10 является многочленом над полем рациональных чисел, х2+2х+p — над полем действительных чисел, а многочлен х2+ix+3-i — над полем комплексных чисел. Разумеется, если поле Р является частью поля P1 (или, как говорят математики, его подполем), то любой многочлен над полем Р может рассматриваться и как многочлен над полем Р1. Ведь его коэффициенты принадлежат полю Р, а значит, и полю Р1. Такой подход бывает удобен при разложении многочленов на множители. Например, можно говорить о разложении многочлена x2+6х+10 над полем комплексных чисел. Разложение многочленов на множители похоже по своим свойствам на разложение целых чисел. Только вместо простых чисел надо брать так называемые неприводимые многочлены — те, которые нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени (над заданным полем). Делителями единицы являются только многочлены нулевой степени, т. е. отличные от нуля числа. Как и для целых чисел, здесь каждый многочлен единственным образом разлагается в произведение неприводимых множителей. Разумеется, такие два разложения, как
отличающиеся лишь делителями единицы, считаются одинаковыми.
|
ПОИСК
Block title
|