Детская энциклопедия

Меню сайта











Разложение многочленов на множители и решение уравнений

Зачем же надо разлагать многочлены на мно­жители? Одна причина ясна — для выполнения действий с алгебраическими дробями, Но есть и другая причина — разложение на множители облегчает решение уравнений. Пусть нам дано уравнение:

х5+2х4-х-2=0.

Решать уравнения пятой степени мы не умеем. Но если сгруппировать члены в левой части, то получим:

(х+2) 4-1)=0. или:

(x+2)(x-1)(x+1)(x2+1)=0.

А теперь видно, что левая часть обращается в нуль при x1=-2, х2=1, х3 =-1. Значит, эти числа являются корнями нашего уравнения. Других действительных корней у него нет, так как произведение может равняться нулю, лишь если какой-нибудь множитель равен нулю, а множитель х2+1 при действительных х в нуль не обращается.

Вообще, если левая часть алгебраического уравнения f(x)=0 может быть записана в виде (х-а)р(х)=0, где р(х) — тоже многочлен, то х=а является одним из корней нашего урав­нения. Верно и обратное: если число а являет­ся корнем алгебраического уравнения f(x)=0, то многочлен f(x) делится без остатка на х-а. При этом если коэффициенты многочлена f(x) и корень а принадлежат полю Р, то тому же полю принадлежат и коэффициенты многочлена р(х), ведь при делении многочленов «стол­биком» мы выполняем над их коэффициентами лишь четыре арифметических действия. Осо­бенно легко решать уравнения, левая часть которых разложена на множители первой сте­пени:

(х-а1)(х-a2) ... (x-an)=0.

В этом случае ясно, что корнями будут числа a1, a2,..., an, а других корней не будет (так как если х отлично от всех чисел a1, a2,..., an, то ни один из множителей первой степени в нуль не обращается). Верно и обратное: если мы знаем n корней a1, а2,...,аn многочлена

f(х)=а0хn+а1хn-1+ ...n,

то он следующим образом разлагается на мно­жители:

f(х)=а0 (х-a1)(х-а2)...(х-аn).

Из сказанного ясно, что никакое уравнение n-й степени не может иметь больше, чем n кор­ней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один корень? Впрочем, эта задача опять нечетко поставлена: неясно, что значит «любое урав­нение», какими должны быть его коэффици­енты. Неясно и то, какие корни мы будем рас­сматривать.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016