Основная теорема алгебры многочленов
Детская энциклопедия




Меню сайта




Реклама











Основная теорема алгебры многочленов

Мы видели, что чем богаче элементами поле Р, тем больше возможностей разложить над ним заданный многочлен f(x) на множители. На­пример, многочлен х4-2 совсем не разлагается над полем рациональных чисел, но разлагает­ся на три множителя над полем действи­тельных чисел:

 

и на четыре множителя над полем комплексных чисел:

 

Однако расширение поля влечет за собой и расширение множества многочленов, Которые надо разлагать. Ведь если допустить в качестве коэффициентов не только рациональные, но и действительные числа, то придется разлагать не только такие многочлены, как x4-2, но и такие, как

 

и даже такие, как х4-π. А если допустить комплексные числа, то при­дется рассматривать и многочлены вида х4+i.
К счастью, оказалось, что выигрыш от рас­ширения поля больше, чем проигрыш, — над полем комплексных чисел любой многочлен (не только с рациональными, но и с любыми комплексными коэффициентами) разлагается до конца, т. е. на множители первой степени. А это означает, что всякое уравнение n-й сте­пени с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней. Эту теорему называют основной теоремой алгебры многочленов. Ее доказал К. Гаусс в 1799 г.
Сложнее обстоит дело с разложением мно­гочлена над полем действительных чисел. Как мы видели, над этим полем многочлен
x2+6x+10 не разлагается на множители первой степени. Однако любой многочлен с дей­ствительными коэффициентами, степень кото­рого больше двух, всегда разлагается на мно­жители с коэффициентами того же вида. Поэто­му всякий многочлен с действительными коэф­фициентами разлагается над полем действи­тельных чисел на множители первой и второй степеней.
 




 
 
-------------------------------------------------------
Календарь
«  Март 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2017