Детская энциклопедия

Меню сайта











Основная теорема алгебры многочленов

Мы видели, что чем богаче элементами поле Р, тем больше возможностей разложить над ним заданный многочлен f(x) на множители. На­пример, многочлен х4-2 совсем не разлагается над полем рациональных чисел, но разлагает­ся на три множителя над полем действи­тельных чисел:

 

и на четыре множителя над полем комплексных чисел:

 

Однако расширение поля влечет за собой и расширение множества многочленов, Которые надо разлагать. Ведь если допустить в качестве коэффициентов не только рациональные, но и действительные числа, то придется разлагать не только такие многочлены, как x4-2, но и такие, как

 

и даже такие, как х4-π. А если допустить комплексные числа, то при­дется рассматривать и многочлены вида х4+i.
К счастью, оказалось, что выигрыш от рас­ширения поля больше, чем проигрыш, — над полем комплексных чисел любой многочлен (не только с рациональными, но и с любыми комплексными коэффициентами) разлагается до конца, т. е. на множители первой степени. А это означает, что всякое уравнение n-й сте­пени с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней. Эту теорему называют основной теоремой алгебры многочленов. Ее доказал К. Гаусс в 1799 г.
Сложнее обстоит дело с разложением мно­гочлена над полем действительных чисел. Как мы видели, над этим полем многочлен
x2+6x+10 не разлагается на множители первой степени. Однако любой многочлен с дей­ствительными коэффициентами, степень кото­рого больше двух, всегда разлагается на мно­жители с коэффициентами того же вида. Поэто­му всякий многочлен с действительными коэф­фициентами разлагается над полем действи­тельных чисел на множители первой и второй степеней.
 




 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016