Группы геометрических преобразований

Группы геометрических преобразований

Не всякое множество G геометрических преобразований пригодно для определения ра­венства фигур. Ведь может случиться, что в множестве G отсутствует преобразование, оставляющее какую-то фигуру F неизменной. Тогда окажется, что эта фигура не равна самой себе. Конечно, такое определение равенства никуда не годилось бы. Поэтому потребуем, чтобы среди преобразований множества G было тождественное преобразование е, т. е. такое, при котором все фигуры остаются неизмен­ными. Тогда любая фигура будет равна самой себе относительно этого множества.

Но существования тождественного преобра­зования еще мало. Может случиться, что в множестве G есть преобразование, переводя­щее фигуру F₁ в фигуру F₂, есть и преобра­зование, переводящее фигуру F₂ в фигуру F₃, но нет преобразования, переводящего F₁ пря­мо в F₃. Тогда получится, что F₁=F₂, F₂=F₃, но F₁≠F₃

Чтобы избежать этой неприятности, введем следующее условие: вместе с любыми двумя преобразованиями α и β в множество G вхо­дит и их произведение αβ.

Наконец, надо, чтобы из равенства F₁=F₂ вытекало равенство F₂=F₁. Иными сло­вами, надо, чтобы вместе с преобразованием, переводящим фигуру F₁ в фигуру F₂, мно­жество G содержало и преобразование, пе­реводящее F₂ в F₁. Для этого достаточно, чтобы вместе с преобразованием α множе­ство G содержало и обратное ему преобразо­вание α^-1.

Подведем итоги. Для того чтобы равенство геометрических фигур, определенное с помощью множества преобразований G, обладало «хоро­шими» свойствами, нужно следующее: 1) мно­жество G должно содержать тождественное преобразование; 2) вместе с двумя преобра­зованиями  α и β  в G должно входить их произведение  αβ; 3) вместе с каждым пре­образованием а множество G должно содер­жать обратное к нему преобразование α^-1.

Множество преобразований, для которого выполнены эти три условия, называют груп­пой геометрических преоб­разований.

Таким образом, для того чтобы с помо­щью множества G геометрических преобразо­ваний можно было определить понятие ра­венства геометрических фигур, надо, чтобы это множество было группой.

• ГРУППЫ    

• Умножение геометрических преобразований  
• Что такое равные фигуры
• Группы геометрических преобразований     
• Разные геометрии  
• Группы симметрии  
• Задача о раскраске куба 
• Симметрия в природе  
• Группы алгебраических преобразований. Теория Галуа     
• Абстрактная теория групп. Отто Юльевич Шмидт  
• Заключение