Детская энциклопедия

Меню сайта











Группы симметрии

Посмотрите на геометрические фигуры, изоб­раженные на рис. 6. Фигуру А на этом рисунке никак нельзя назвать симметричной. Фигуры В и С уже обладают некоторой симметрией, Более симметрична фигура D, и, конечно, самой симметричной из всех начерченных фигур является квадрат. Однако это только слова — сим­метричность не длина и не площадь, а потому понятия «больше» и «меньше» для оценки симметричности пока точного смысла не имеют.

Как же можно оценить большую или мень­шую симметричность фигуры? Для этого надо рассмотреть множество всех движений плоско­сти, которые переводят рассматриваемую фи­гуру самое в себя. Для фигуры А на рис. 6 единственным таким движением является тож­дественное преобразование. Для фигур В и С, кроме тождественного преобразования, есть еще по одному движению, переводящему их в себя. Именно, для равнобочной трапеции — осевая симметрия (относительно прямой, соединяющей середины оснований), для параллелограмма — центральная симметрия. Для ромба D есть уже 4 движения, совмещающих его с самим собой: тождественное преобразование, две осевые симметрии относительно диагоналей и цент­ральная симметрия. Наконец, для квадрата таких преобразований 8 (4 осевые симметрии относительно средних линий и диагоналей и 4 вращения на углы 0°, 90°, 180° и 270°).

Ясно, что совокупность всех движений, переводящих заданную геометрическую фигуру самое в себя, образует группу. В самом деле, если преобразования α и β  переводят фигуру F в себя, то и их произведение αβ преобра­зует ее в себя. Не изменит ее, конечно, и тож­дественное преобразование. То же самое верно и для обратного преобразования. Группу всех движений, переводящих фигуру F самое в себя, называют группой симметрии этой фигуры.

Чем шире группа симметрии данной фигу­ры, тем более симметричной она является. Именно поэтому квадрат является наиболее симметричной из всех фигур, изображенных на рис. 6. Интересные примеры симметрич­ных фигур, обладающих самыми разными ти­пами симметрии, дают узоры (см. цветную вклей­ку ).

Если фигура переходит сама в себя при

 

 

  всех поворотах на углы вида , где k — целое, а n — фиксировано, то говорят, что она обладает симметрией порядка п. Такой симметрией обладает, например, правильный n-угольник.

Бывают фигуры, у которых группа симметрии бесконечна. Примерами могут служить окруж­ность, кольцо, а также фигуры, (см. цветную вклей­ку ) (эти фигуры надо представлять себе простирающимися в бес­конечность).

Разумеется, о группе симметрии можно го­ворить не только для плоских, но и для прост­ранственных фигур. При этом обычно рассмат­ривают только движения пространства, не явля­ющиеся симметриями относительно плоскостей (их нельзя осуществить в пространстве движе­ниями пространственных тел как твердого це­лого). Так, можно говорить о группе симметрии правильного тетраэдра, куба, икосаэдра, пра­вильной n-угольной призмы и т. д. Предостав­ляем читателю убедиться, что группа симмет­рии куба состоит из 24 элементов, а для пра­вильной n-угольной призмы из 2n элементов.





 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016