Задача о раскраске куба

Задача о раскраске куба

Используя группу симметрии куба, легко решить интересную задачу о раскраске куба. Пусть дан куб и 6 красок: синяя, зеленая, жел­тая, красная, коричневая и черная. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 гра­ней куба этими красками так, чтобы все грани имели различный цвет?

Для решения занумеруем грани куба. Тогда первую грань можно раскрасить 6 различными способами. Если выбрана окраска первой гра­ни, то для второй грани остается 5 цветов. Всего первые две грани можно раскрасить 6•5=30 способами. Точно так же видно, что первые три грани можно окрасить 6•5•4=120 способами, а весь куб — 6•5•4•3•2•1=720 способами.

А теперь выясним, сколько из этих спосо­бов геометрически различны. Именно, назовем две окраски куба геометрически сов­падающими, если одна получается из другой движением куба как твердого тела. Так как группа симметрии куба состоит из 24 эле­ментов, то число окрасок, геометрически совпа­дающих с данной (включая ее саму), равно 24. Следовательно, число геометрически различ­ных окрасок куба в 24 раза меньше, чем общее число окрасок, т. е. 720:24=30.