Детская энциклопедия




Меню сайта




Реклама











Абстрактная теория групп. Отто Юльевич Шмидт

Рассмотрим следующие две группы преоб­разований. Первой из них является группа симметрии ромба, второй — группа перемен знаков переменных х и у. Обозначим тожде­ственное преобразование ромба через е, сим­метрии относительно диагоналей — через а и b и центральную симметрию — через с. Про­верьте, что «таблица умножения» в этой группе имеет следующий вид:

 

 

Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных х и у. Здесь мы также обозна­чим тождественное преобразование

через е. Изменение знака у одного только х  

 

 

 обозначим через а, а изменение знака у одного толь­ко у — через b. Наконец, преобразование

(изменение знаков у обоих пере­менных) обозначим через с. Легко проверяется тогда, что в рассматриваемой группе преобра­зований «таблица умножения» имеет вид:

 

Сразу бросается в глаза, что написанные «таб­лицы умножения» совершенно одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут ока­заться совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов и оди­наковую таблицу умножения. Для решения многих вопросов, относящихся к группам пре­образований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется, а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе и как они перемножаются.

Изучением групп с этой точки зрения зани­мается так называемая абстрактная теория групп. В этой теории рассмат­ривают множества G, состоящие из каких угодно элементов (не обязательно преобразо­ваний), для которых определено каким-то об­разом умножение, обладающее следующими свойствами:

1. Произведение ab двух элементов из G принадлежит G.

2. Существует элемент е (единичный), обла­дающий тем свойством, что для всех элементов а из G выполняется равенство ае=а.

3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а-1, т. е. такой, что аа-1=е.

4. Для любых трех элементов а, b, с выпол­нено равенство а(bс)=(аb)с.

Заметим, что последнее равенство, выража­ющее ассоциативность умножения, всегда вы­полняется для преобразований.

Множество G с указанными свойствами на­зывается группой. Первая в России книга по теории групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта.

Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических пре­образований, и к группам алгебраических пре­образований, и к изучению атомов и кристал­лов и т. п.





 
 
---------------------------------------------------- 
Календарь
«  Ноябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930

Реклама
  • Теплообменники для бассейна www.basseyn.pro.

  • Новые статьи
    Каталог статей
    Как подготовить ребенка к школе
    Освоение навыков чтения
    Природные материалы на уроках труда

    Статистика


     




     
    Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
    2013 © 2017