.
Меню сайта
|
Абстрактная теория групп. Отто Юльевич ШмидтАбстрактная теория групп. Отто Юльевич ШмидтРассмотрим следующие две группы преобразований. Первой из них является группа симметрии ромба, второй — группа перемен знаков переменных х и у. Обозначим тождественное преобразование ромба через е, симметрии относительно диагоналей — через а и b и центральную симметрию — через с. Проверьте, что «таблица умножения» в этой группе имеет следующий вид:
Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных х и у. Здесь мы также обозначим тождественное преобразование
через е. Изменение знака у одного только х
обозначим через а, а изменение знака у одного только у — через b. Наконец, преобразование
Сразу бросается в глаза, что написанные «таблицы умножения» совершенно одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут оказаться совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов и одинаковую таблицу умножения. Для решения многих вопросов, относящихся к группам преобразований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется, а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе и как они перемножаются. Изучением групп с этой точки зрения занимается так называемая абстрактная теория групп. В этой теории рассматривают множества G, состоящие из каких угодно элементов (не обязательно преобразований), для которых определено каким-то образом умножение, обладающее следующими свойствами: 1. Произведение ab двух элементов из G принадлежит G. 2. Существует элемент е (единичный), обладающий тем свойством, что для всех элементов а из G выполняется равенство ае=а. 3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а-1, т. е. такой, что аа-1=е. 4. Для любых трех элементов а, b, с выполнено равенство а(bс)=(аb)с. Заметим, что последнее равенство, выражающее ассоциативность умножения, всегда выполняется для преобразований. Множество G с указанными свойствами называется группой. Первая в России книга по теории групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта. Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических преобразований, и к группам алгебраических преобразований, и к изучению атомов и кристаллов и т. п.
|
ПОИСК
Block title
|