Детская энциклопедия

Меню сайта











Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории игр

Мы знаем, что если нижняя цена игры α равна верхней β  (максимин равен минимаксу), то игра имеет седловую точку и по крайней мере одно решение в чистых стратегиях.

А если αβ? Можно доказать, что и в этом случае решение всегда есть, только оно лежит не в области чистых, а в области смешан­ных стратегий. Решением игры называется такая пара стратегий — в общем случае смешанных, систематическое применение которых обеспечивает каждой стороне макси­мально возможный для нее по условиям игры выигрыш, определяемый ценой игры. Если же одна из сторон отступает от своей оптималь­ной стратегии (в то время как другая продол­жает придерживаться своей), то это ни в коем случае не может быть выгодно для отступаю­щего: это либо оставит его выигрыш неизменным, либо уменьшит. Таким образом, каждая конеч­ная игра имеет решение (возможно, в области смешанных стратегий). Это положение назы­вается основной теоремой теории игр.

Введем специальное обозначение для сме­шанных стратегий. Пусть К применяет свои стратегии К1, К2, К3 с частотами соответст­венно р1, р2, р3 (p1+p2+p3=1). Эту смешанную стратегию будем обозначать:

 

Аналогично смешанную стратегию игрока С будем обозначать:

 




где q1+q2+ q3 =1

Очевидно, любая чистая стратегия — част­ный случай смешанной, в которой все частоты, кроме одной, равны нулю, а одна — единице.

Решение игры — пару оптимальных стра­тегий — будем обозначать S*k и S*c , а соответ­ствующий ему выигрыш (цену игры) v.

Очевидно, что цена игры v не может быть мень­ше нижней и больше верхней цены:

α v   β .

В первом примере мы путем нестрогих соображений догадались, что решение игры должно быть:

 

а цена игры v = 0. Проверим это. Пусть мы («красные») держимся своей стратегии S*k, т. е. ищем С в убежище I и II одинаково часто, че­редуя эти стратегии случайным образом. Мо­жет ли С улучшить свое положение (повысить свой выигрыш), отступая любым образом от своей стратегии S*с? Очевидно, нет. А если од­ностороннее отступление от стратегии S*k при­дет в голову нам (в то время как разумный С будет держаться стратегии S*c), то это нам то­же не может быть выгодно. Значит, мы и в са­мом деле нашли решение игры и ее цену v = 0. Правда, эта игра была довольно простой! Уже второй пример дает игру, решение которой не так очевидно. Из того, что в нем αβ, сле­дует только, что решение нужно искать в сме­шанных стратегиях.

Но каково это решение? Какова цена игры? Выгодна ли игра «красным», или «синим», или никому из них?



Спешите, бесплатные браузерные космические стратегии онлайн доступны на сайте theonlinegames.ru.

В играх важны скины, скачайте slither скины по никам с сайта.


 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016