Математические олимпиады VIII класс

Математические олимпиады. VIII класс

В древней Греции каждые четыре года проводились Олимпийские игры — общенациональные состязания в беге, метании диска, борьбе, езде на колесницах и т. п. Четырехгодичные промежутки между двумя Олимпий­скими играми получили название олимпиад — по ним тогда вели счет времени. С конца прошлого века олим­пиадами стали называть международные спортивные соревнования, которые также бывают раз в четыре года.

Математические олимпиады впервые возникли в нашей стране в 1934 г. Они хотя и называются олим­пиадами, но совсем не связаны с четырехлетними пе­рерывами и проводятся ежегодно. Вначале у нас были только городские олимпиады.

С 1960 г. организуются Всероссийские, а факти­чески Всесоюзные олимпиады. Их участники — школь­ники, соревнующиеся между собой в математических знаниях и сообразительности. Все соревнование состоит из четырех туров, на каждом из которых участникам предлагается решать задачи в письменном виде (обычно даются четыре задачи). Тот, кто хорошо решит задачи (быть может, не все), считается победителем в этом туре и допускается к следующему.

Вот некоторые задачи, которые предлагались на четвертом (заключительном) туре в 1963 и 1964 гг. (на III и IV Всероссийских олимпиадах).

VIII класс

1. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. На про­должении стороны АВ откладывается отрезок ВМ=АВ, на продолжении стороны ВС — отрезок CN=ВС, на продолжении стороны CD — отрезок DP = CD и на продолжении стороны DA — отрезок 'AQ=AD.

Доказать, что площадь четырехугольника MNPQ в пять раз больше площади четырехугольника ABCD.

2. Доказать, что m(m+1) не является степенью целого числа ни при каком натуральном m.

3. Дан произвольный набор 2k + 1 целых чисел a₁, a₂, ..., a_2с+1. Из него получается новый набор:

Из этого набора — следующие по тому же правилу и т. д., причем все получающиеся числа — целые. Дока­зать, что все первоначальные числа равны.

4. Каждая из диагоналей выпуклого четырехуголь­ника ABCD делит его площадь пополам. Доказать, что ABCD — параллелограмм.

X-XI классы