Математические олимпиады X-XI классы

Математические олимпиады X-XI классы

1. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Из­вестно, что каждая из диагоналей AD, BE, CF делит его площадь пополам. Доказать, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

2. Дана арифметическая прогрессия, члены кото­рой — целые положительные числа. Известно, что в этой прогрессии есть член, являющийся полным квад­ратом. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много таких членов.

3. На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?

В последние годы проводятся международные олимпиады, в которых принимают участие пока только социалистические страны. Так, летом 1962 г. в Чехо­словакии состоялась IV Международная математиче­ская олимпиада учащихся двух последних классов средних школ. Участникам были предложены следую­щие задачи (в скобках после каждой задачи указано количество очков, начисляемое за ее решение).

1. Найти наименьшее натуральное число n, обла­дающее следующими свойствами:

а) его запись в десятичной системе заканчивается цифрой 6;

б) если зачеркнуть последнюю цифру 6 и перед оставшимися цифрами написать эту цифру 6, то полу­чится число в четыре раза больше исходного числа.

(6 очков)

2. Определить все действительные числа х, удов­летворяющие неравенству

(6 очков)

3. Дан куб ABCDA'B'C'D' (ABCD и A'B'C'D'— со­ответственно верхнее и нижнее основания и АА' || ВВ' ||СС' ||DD'). Точка X движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата ABCD в направлении ABCDA, и точка У движется с той же скоростью по сторонам квадрата В'С'СВ в направлении В'С'СВВ'. Точки X и У начинают двигаться в один и тот же момент из исходных положений А и В' соответственно.

Найти и начертить геометрическое место середин отрезков XУ.

(8 очков)

4. Решить уравнение

(5 очков)

5. На окружности k заданы три различные точки А, В, С.

Построить (циркулем и линейкой) на окружности k четвертую точку D так, чтобы в полученный четырех­угольник ABCD можно было вписать окружность.

(7 очков)

6. Дан равнобедренный треугольник АBС', r — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. Докажите, что расстояние d между цент­рами окружностей есть

(6 очков)

7. Тетраэдр SABC обладает следующим свойством: существуют 5 сфер, касающихся ребер SA, SB, SC, АВ, ВС, СА или их продолжений.

Докажите, что а) тетраэдр SAВС правильный, б) об­ратно — для каждого правильного тетраэдра сущест­вуют пять таких сфер.

(8 очков)

Для получения премии на олимпиаде требовалось 46—41 очко для I премии, 40—34 очка для II пре­мии, 33—29 очков для III премии.

Всего было присуждено 4 первые, 12 вторых и 15 третьих премий. Из них советские школьники получили 2 первые, 2 вторые и 2 третьи.

Вот какие задачи пришлось решать участникам V Международной математической олимпиады, которая проходила летом 1963 г. в Польше.

1. Найти все вещественные корни уравнения

где р — вещественный параметр.(6 очков)

2. Найти в пространстве геометрическое место вершин прямых углов, одна сторона которых проходит через данную точку А, а другая имеет по крайней мере одну общую точку с отрезком ВС.

(7 очков)

3. Доказать, что

(6 очков)

4. Ученики А, В, С, D, E участвовали в одном кон­курсе. Пытаясь угадать результаты соревнования, некто предполагал, что получится последовательность А, В, С, D, E. Но оказалось, что он не указал верно ни места какого-либо из участников, ни никакой пары следующих непосредственно друг за другом учеников. Некто другой, предполагая результат D, A, E, С, В, угадал правильно места двух учеников, а также две пары (непосредственно следующих друг за другом уче­ников). Каков был на самом деле результат конкурса?

(8 очков).

Дипломом I степени были награждены участники, набравшие от 35 до 40 очков, II степени — от 28 до 34 очков, III степени — от 21 до 27 очков. Советские школьники получили 4 диплома I степени (из 7), 3 диплома II степени (из 11), 1 диплом III степени (из 17). В журнале «Математика в школе», № 6, 1963, помещены решения задач III Всероссийской и V Меж­дународной олимпиад.

Со 2 по 10 июля 1964 г. в Москве в здании Мос­ковского университета проводилась VI Международная математическая олимпиада. Участникам были предло­жены следующие задачи:

1. а) Определить все целые положительные числа n, для которых число 2ⁿ-1 делится на 7.

б) Доказать, что ни при каком целом положитель­ном n 2ⁿ+1 не делится на 7.

(7 очков)

2. Обозначим через а, b, с длины сторон некоторого треугольника. Доказать, что

a²(b+с-а)+b²(а+с-b)+с²(а+b-с)≤3аbс.

(7 очков)

3. В треугольнике АBС со сторонами а, b, с вписана окружность и построены ее касательные, параллельные сторонам данного треугольника. Эти касательные отсе­кают от данного треугольника ABC три новых тре­угольника. В каждый из таким образом построенных треугольников вписана окружность. Вычислить сумму площадей всех четырех кругов.

(6 очков)

4. Каждый из 17 ученых переписывается с осталь­ными. В их переписке речь идет лишь о трех темах, каждая пара ученых переписывается друг с другом лишь в связи с одной темой. Доказать, что не менее трех ученых переписываются друг с другом об одной и той же теме.

(6 очков)

5. На плоскости даны пять точек. Среди прямых, соединяющих эти пять точек, нет параллельных, пер­пендикулярных и совпадающих. Проводим через каж­дую точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные четыре точки. Каково максимальное число точек пересечения этих перпендикуляров между собой, не считая данные пять точек?

(7 очков)

6. Дан тетраэдр ABCD. Вершина D соединена с центром тяжести основания точкой D₁. Через вер­шины треугольника АBС проведены прямые, парал­лельные DD₁, до пересечения с плоскостями противо­положных граней в точках A₁ ,B₁, С₁. Доказать, что объем тетраэдра ABCD в три раза меньше объема тет­раэдра A₁B₁C₁D₁.

Будет ли верным результат, если точка D₁ — про­извольная точка внутри треугольника АBС?

(9 очков)

Для получения премии требовалось: 37—42 очка для I премии, 31—36 очков для II и 27—30 очков для III премии. Набравшим 30 очков были вручены дип­ломы участников олимпиады.

7 из 8 советских участников получили премии. Из них 3 первые (из 7), 1 вторую (из 9), 3 третьи (из 19) премии. Команда Венгрии получила 3 первые, 1 вто­рую и 1 третью премии; Польши —1 первую, 1 вторую и 3 третьих; Румынии — 2 вторые и 3 третьих; Чехо­словакии — 2 вторые и 2 третьи; ГДР — 1 вторую и 2 третьи; Болгарии — 3 третьи; Югославии — 1 вторую и 1 третью; Монголии — 1 третью премию.

Олимпиады повышают у учащихся интерес к ма­тематике. Возможно, что многие читатели Детской эн­циклопедии станут участниками олимпиад, некото­рые же победителями на них, а впоследствии и уче­ными.

X-XI классы