Геометрическое вычисление интегралов

Формулы (1) и (2) можно использовать для нахождения площадей и объемов различных тел. Но так как площади и объемы простых тел мы уже знаем, то, наоборот, с помощью этих формул можно вычислить значения некоторых простых интегралов. (Дальше, мы укажем, как можно сосчитать эти интегралы непосредственным вычислением, не прибегая к геометрии.)

Самой простой геометрической формулой вычисления площади является формула пло­щади прямоугольника: S=hb. Прямоугольник можно рассматривать как криволинейную тра­пецию, высота которой во всех точках одинакова и равна h (рис. 11), так что его площадь может

быть записана в виде интеграла:

где h — постоянная величина. Итак, мы доказали формулу:

Вспомним теперь формулу площади прямо­угольного треугольника:
где h и b — катеты. Из рис. 12 видно,

что треугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию, высота у которой в точке с абсциссой х равна
(это вытекает из подобия треугольников

ОАВ и OCD). Поэтому площадь треугольника может быть записана в виде интеграла:

 Таким образом, мы доказали, что
Если треугольник ОАВ равнобедренный, т. е. если h=b, то получаем формулу:

  Наконец, рассмотрим еще один пример. Возьмем правильную четырехугольную пира­миду с ребром в основании, равным b, и высо­той, равной этому ребру (рис. 13). Поставим пирамиду на вершину (так, чтобы ось ее была вертикальной) и проведем плоскость парал­лельно основанию пирамиды на расстоянии х от вершины. Тогда в сечении получится квадрат

со стороной, тоже равной х, а площадь его S(х) будет равна x². Поэтому по формуле (1) объем V пирамиды выразится интегралом:

Сравнивая эту формулу с известной из школьного курса формулой объема пирамиды, получим:

или:
Найденные выше формулы (5), (6), (7), оче­видно, можно объединить в одну общую фор­мулу:

при n=0, 1, 2.

Эта формула, как доказывается в математи­ке, справедлива не только при n= 0, 1, 2, но и при любых положительных значениях показа­теля n, например: