Интегрирование многочленов

Теперь уже нетрудно научиться вычислять интеграл от любого многочлена. Сделаем пред­варительно два простых, но очень важных за­мечания.

Первое замечание. Пусть два тела М₁ и М₂ движутся в одном и том же на­правлении, причем так, что скорость те­ла М₂ в каждый момент времени в k раз больше скорости тела М₁. Тогда ясно, что и путь, пройденный телом M₂, будет в k раз больше пути, пройденного за то же время телом M₁. Запишем этот очевидный факт формулой. Обозначим скорость тела M₁ в момент t через v(t), тогда скорость тела М₂ в тот же момент равна kv(t). Пути s₁ и s₂, пройденные телами М₁ и M₂ за промежуток времени от t=0 до t=T, равны следующим интегралам:

 Но так как путь, пройденный вторым телом, в k раз больше пути, пройденного первым телом (т. е. s₂=ks₁), то
Иначе говоря, числовой (постоянный) множитель можно выносить из-под знака интеграла.

Второе замечание. Пусть тело М₁ дви­жется в некотором направлении, а по его поверх­ности движется в том же направлении тело М₂. Например, баржа плывет по реке, а по ее палубе идет человек. Обозначим скорость дви­жения тела M₁ через v₁(t), а скорость пере­мещения тела М₂ по поверхности тела М₁ — через v₂(t). Тогда путь, пройденный телом М₁ за время от t=0 до t=T, равен

а путь, пройденный телом M₂ по поверхности тела М₁, равен

Приравнивая оба найденных значения пути, получим:

 

т. е. интеграл от суммы двух (или несколь­ких) функций равен сумме интегралов от сла­гаемых.

Переходим к интегрированию многочленов. Пусть, например, нужно вычислить интеграл

Так как подынтегральное выражение есть сумма х²+(-3x)+5, то можно наш интеграл разбить на три: