С чего начинается изучение геометрии

Всем хорошо известно, что выводы эле­ментарной (школьной) геометрии находят ши­рокое применение при решении самых раз­нообразных практических задач. Знания гео­метрии необходимы слесарю, инженеру, учено­му — всем, кому приходится исследовать свойства различных фигур и тел. Как же гео­метрия изучает наш реальный мир? Каждому, по-видимому, приходилось слышать выраже­ния «с математической точностью», «как дваж­ды два — четыре». Этими словами обычно принято характеризовать абсолютно точное и неоспоримое. Ниже мы попытаемся выяснить, с какой точностью геометрические теоремы от­ражают действительное положение вещей в на­шем мире. Действительно ли эта точность бес­предельна?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, нам понадобится внимательно проанализи­ровать, как строится наука геометрия и как эта наука изучает реальный мир.

С чего начинается изучение геометрии

В учебнике геометрии постоянно изучаются геометрические объекты различной сложности: треугольники, трапеции, параллелограммы, призмы, пирамиды, сферы и т. п., которые дол­жны быть точно охарактеризованы. Это делает­ся в так называемых определениях. Для того чтобы полностью разобрать то или иное произвольно взятое определение, надо знать определения, изложенные в учебнике ра­нее. Например, чтобы понять определение тра­пеции, надо заранее знать определение па­раллельности прямых, определение четырех­угольника, а для этого надо знать определение отрезка. Последнее требует знания того, что такое прямая и точка.

Всякое другое определение точно так же в конце концов приводит нас к первой страни­це учебника геометрии, где мы надеемся найти определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости.

Но, увы, нас ожидает разочарование. Ока­зывается, что и здесь нет точных математиче­ских определений точки, прямой и плоскости. В то же время все дальнейшие определения, которые опираются на эти основные геометри­ческие понятия, сформулированы с полной математической строгостью. Такое положение на первый взгляд может показаться весьма странным.

Правда, в начале учебника даются некото­рые пояснения того, что же мы понимаем под точкой, прямой и плоскостью. Пояснения эти, однако, ни в какой мере не могут служить точ­ными математическими определениями. Кроме того, эти пояснения нигде далее в геометрии не используются. Они совершенно не нужны для доказательства теорем. Важным является лишь указание на то, что в дальнейшем будут изу­чаться именно точки, прямые и плоскости.

Что же такое точка, прямая и плоскость?

Отметим сразу же, что нигде в природе не встречаются точки, прямые и плоскости.

Представим себе шарик малого диаметра, скажем в 1 мм. Уменьшим его диаметр вдвое, втрое, …, в тысячу раз и т. д. Наступит ли мо­мент, когда уже весьма малый шарик можно будет назвать точкой? Нет!

Учитель ставит на доске весьма «жирную» точку.

Ученики рисуют в тетради тоже весьма крупные точки. На самом же деле каждый раз изображаются маленькие кружочки. Но точки ли это? Звезды на небе тоже нам представля­ются «точками», хотя некоторые из них во много раз больше Солнца. А если представить себе шарик столь малым, что его нельзя увидеть ни в один современный микроскоп,— будет ли это точка? Опять нет. Дело в том, что точка — это не какой-то конкретный предмет. Точка — это абстракт­ное понятие, которое образовано на­шим сознанием в результате длительного изуче­ния весьма малых (или кажущихся малыми при определенных условиях) реальных объек­тов — шариков, кружочков и т. п. Это абстрактное понятие точки наделяется нами целым рядом свойств, общих для тех конкрет­ных предметов, в результате наблюдения над которыми и возникло понятие точки. Обратимся теперь к понятию прямой. На бумаге изображена линия. Прямая ли она? Как в этом убедиться? Надо приложить линейку, сравнить линию с краем линейки. Но при этом возникает вопрос: прямая ли наша линейка? Каждому, вероятно, приходилось видеть сто­ляра, который для проверки прямизны выст­роганной планки рассматривает ее так, как показано на рис. 1. Если линейка не прямая, на ней есть изъяны, это будет видно на свет. Таким образом, проверяя прямизну сделан­ной линейки, ее сравнивают с лучом света. Точ­но так же обстоит дело и с туго натянутой ни­тью, которую практически считают прямой. Чтобы убедиться, что нить хорошо натянута и не провисает, надо опять-таки взглянуть вдоль нити, т. е. (как и планку) сравнить ее с лучом света.

Значит, можно сказать, что луч света являет­ся эталоном прямой. На первый взгляд все хорошо. Но на самом деле нигде в природе не встречается то, что мы мыслим себе «одним лучом света».

Допустим, что свет небольшого источника А (рис. 2)

пропускают сквозь малое отверстие. Получится узкий пучок света. Представим себе, что отверстие все время уменьшается и источник света тоже уменьшается. Тогда пучок, исходящий из отверстия, будет становиться все уже и уже. Конечно, этот пучок никогда не станет лучом, если бы даже и можно было его сделать сколь угодно узким¹. Вот если бы источник света А был точкой и отверстие В то­же было точкой, тогда пучок стал бы лучом. Но ведь мы говорили о том, что в реальном мире точек не бывает. Значит, не бывает и лучей. Таким образом, и луч (т. е. прямая) является абстрактным понятием, хотя и имеет весьма реальную природу и физическое происхожде­ние. Точно так же, как и в случае точки, рисуя на бумаге прямую, мы только создаем реаль­ный образ — рисунок, стремясь в той или иной (нужной нам) мере сделать его похожим на те физические объекты, из которых произошло, выкристаллизовалось абстрактное понятие пря­мой. И здесь, как и в случае точки, абстрактное понятие прямой наделяется нами всеми свой­ствами, общими для тех конкретных предме­тов, в результате наблюдения над которыми возникло само понятие прямой.

Точно так же обстоит дело и с плоскостью. Представим себе, что свет источника А пропу­скают сквозь прямую щель (рис. 3).

Прямизна щели может быть, например, в нужной нам мере проверена при помощи эталона — луча света так, как указано выше. Получится изо­браженный на рисунке пучок света. Если бы уменьшить размер источника до «идеальной» точки и сузить щель до «идеальной» прямой, тогда пучок света стал бы «идеальной» плоско­стью. Здесь применимы все рассуждения, при­веденные в случае прямой, и мы не будем на них останавливаться.

¹ В этом мысленном «идеальном» эксперименте мы умышленно не учитываем возникающие здесь физические явления: дифракцию, преломление и т. п.